Μέση Τιμή

Εισαγωγή στη Μέση Τιμή

Η μέση τιμή (ή αριθμητικός μέσος) είναι ένα από τα πιο βασικά και ευρέως χρησιμοποιούμενα μέτρα κεντρικής τάσης στη Στατιστική. Περιγράφει το «κέντρο» ενός συνόλου δεδομένων και χρησιμοποιείται για την εύρεση μιας αντιπροσωπευτικής τιμής.

Ορισμός Μέσης Τιμής

Ορισμός: Έστω ένα σύνολο $n$ παρατηρήσεων $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Η αριθμητική μέση τιμή (ή απλά μέση τιμή) συμβολίζεται με $\bar{x}$ και ορίζεται ως:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Μέση Τιμή για Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Όταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα με συχνότητες, αν η τιμή $x_i$ εμφανίζεται με συχνότητα $f_i$, τότε:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i}{n}$$

όπου $k$ είναι ο αριθμός των διαφορετικών τιμών και $n = \sum f_i$ το συνολικό πλήθος παρατηρήσεων.

Μέση Τιμή για Κλάσεις

Όταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, χρησιμοποιούμε το κέντρο κλάσης $x_i$ (μέσο των ορίων της κλάσης) και τη συχνότητα $f_i$ της κάθε κλάσης:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i}{n}$$

Ιδιότητες της Μέσης Τιμής

Ιδιότητα 1: Γραμμικός Μετασχηματισμός

Αν $y_i = a \cdot x_i + b$, τότε:

$$\bar{y} = a \cdot \bar{x} + b$$

Ιδιότητα 2: Άθροισμα Αποκλίσεων

Το άθροισμα των αποκλίσεων από τη μέση τιμή είναι πάντα μηδέν:

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$

Ιδιότητα 3: Ελάχιστο Άθροισμα Τετραγώνων

Η μέση τιμή ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων:

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \leq \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2$$

για κάθε $c \neq \bar{x}$.

Σταθμισμένη Μέση Τιμή

Όταν οι παρατηρήσεις έχουν διαφορετική σημαντικότητα (βάρη $w_i$), χρησιμοποιούμε τη σταθμισμένη μέση τιμή:

$$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα

Πλεονεκτήματα:

• Εύκολος υπολογισμός
• Χρησιμοποιεί όλες τις παρατηρήσεις
• Αλγεβρικά εύχρηστη

Μειονεκτήματα:

• Επηρεάζεται από ακραίες τιμές (outliers)
• Δεν είναι κατάλληλη για ασύμμετρες κατανομές