Τυπική Απόκλιση

Εισαγωγή στην Τυπική Απόκλιση

Η τυπική απόκλιση (standard deviation) είναι το πιο διαδεδομένο μέτρο διασποράς στη Στατιστική. Εκφράζει το πόσο «απλωμένες» είναι οι τιμές γύρω από τη μέση τιμή, στις ίδιες μονάδες με τα αρχικά δεδομένα.

Ορισμός Τυπικής Απόκλισης

Τυπική Απόκλιση Πληθυσμού

Η τυπική απόκλιση πληθυσμού συμβολίζεται με $\sigma$ και είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

Τυπική Απόκλιση Δείγματος

Η τυπική απόκλιση δείγματος συμβολίζεται με $s$:

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Εναλλακτικός Τύπος

Χρησιμοποιώντας τον εναλλακτικό τύπο της διασποράς:

$$\sigma = \sqrt{\overline{x^2} - \bar{x}^2}$$

Τυπική Απόκλιση για Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Όταν η τιμή $x_i$ έχει συχνότητα $f_i$:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n}}$$

ή:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2}$$

Ιδιότητες της Τυπικής Απόκλισης

Ιδιότητα 1: Μη Αρνητικότητα

$$\sigma \geq 0$$

Η τυπική απόκλιση είναι μηδέν μόνο όταν όλες οι τιμές είναι ίσες.

Ιδιότητα 2: Γραμμικός Μετασχηματισμός

Αν $y_i = a \cdot x_i + b$, τότε:

$$\sigma_y = |a| \cdot \sigma_x$$

Ιδιότητα 3: Ίδιες Μονάδες

Η τυπική απόκλιση έχει τις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα.

Κανόνας των Τριών Σίγμα (Εμπειρικός Κανόνας)

Για κανονικές κατανομές ή κατανομές σχήματος καμπάνας:

• Περίπου 68% των τιμών βρίσκεται στο διάστημα $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$
• Περίπου 95% των τιμών βρίσκεται στο διάστημα $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$
• Περίπου 99.7% των τιμών βρίσκεται στο διάστημα $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$

Συντελεστής Μεταβλητότητας

Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) επιτρέπει τη σύγκριση της διασποράς διαφορετικών κατανομών:

$$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100\%$$

Εκφράζει την τυπική απόκλιση ως ποσοστό της μέσης τιμής.

Τυποποιημένες Τιμές (z-scores)

Η τυποποιημένη τιμή (z-score) μιας παρατήρησης $x_i$ είναι:

$$z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma}$$

Το z-score δείχνει πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει μια τιμή από τη μέση.

Ιδιότητες z-scores:

• Μέση τιμή: $\bar{z} = 0$
• Τυπική απόκλιση: $\sigma_z = 1$

Ερμηνεία της Τυπικής Απόκλισης

• Μικρή τυπική απόκλιση: Οι τιμές συγκεντρώνονται κοντά στη μέση
• Μεγάλη τυπική απόκλιση: Οι τιμές είναι διασκορπισμένες

Σύγκριση με Άλλα Μέτρα Διασποράς