Κανονική Κατανομή

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή

Η κανονική κατανομή (ή κατανομή Gauss) είναι η σημαντικότερη κατανομή πιθανότητας στη Στατιστική. Περιγράφει πολλά φυσικά και κοινωνικά φαινόμενα και αποτελεί τη βάση για πλήθος στατιστικών μεθόδων.

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας

Μια τυχαία μεταβλητή $X$ ακολουθεί κανονική κατανομή με παραμέτρους $\mu$ (μέση τιμή) και $\sigma^2$ (διασπορά), συμβολικά $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

για $x \in (-\infty, +\infty)$.

Χαρακτηριστικά της Κανονικής Κατανομής

Γεωμετρικά Χαρακτηριστικά

• Σχήμα καμπάνας: Συμμετρική καμπύλη γύρω από τη μέση τιμή
• Κορυφή: Στο σημείο $x = \mu$ (μέγιστη τιμή πυκνότητας)
• Σημεία καμπής: Στα $x = \mu \pm \sigma$
• Ασυμπτωτική: Η καμπύλη τείνει στο μηδέν καθώς $x \to \pm\infty$

Στατιστικά Χαρακτηριστικά

• Μέση τιμή: $E(X) = \mu$
• Διασπορά: $Var(X) = \sigma^2$
• Διάμεσος: $M_e = \mu$
• Επικρατούσα τιμή: $M_o = \mu$

Τυπική Κανονική Κατανομή

Η τυπική κανονική κατανομή είναι η κανονική κατανομή με $\mu = 0$ και $\sigma = 1$, δηλαδή $Z \sim N(0, 1)$:

$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$

Τυποποίηση

Αν $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, τότε η μεταβλητή:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή $N(0, 1)$.

Υπολογισμός Πιθανοτήτων

Η πιθανότητα $P(X \leq x)$ υπολογίζεται με τη συνάρτηση κατανομής $\Phi$:

$$P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$

Βασικές Ιδιότητες

• $\Phi(0) = 0.5$
• $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ (συμμετρία)
• $P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

Εμπειρικός Κανόνας (68-95-99.7)

Για κανονικές κατανομές:

$$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.6827 \approx 68\%$$

$$P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 \approx 95\%$$

$$P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0.9973 \approx 99.7\%$$

Ιδιότητες της Κανονικής Κατανομής

Γραμμικός Συνδυασμός

Αν $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ και $Y = aX + b$, τότε:

$$Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$$

Άθροισμα Ανεξάρτητων Κανονικών

Αν $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ και $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ ανεξάρτητες, τότε:

$$X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$$

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα εξηγεί γιατί η κανονική κατανομή είναι τόσο διαδεδομένη:

Αν $X_1, X_2, \ldots, X_n$ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή $\mu$ και τυπική απόκλιση $\sigma$, τότε:

$$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$

ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατανομή $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ για αρκετά μεγάλο $n$.