Διάμεσος και Επικρατούσα Τιμή

Εισαγωγή

Η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή είναι δύο σημαντικά μέτρα κεντρικής τάσης που συμπληρώνουν τη μέση τιμή. Κάθε ένα έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και είναι κατάλληλο για διαφορετικές περιπτώσεις.

Διάμεσος (Median)

Ορισμός

Η διάμεσος ($M_e$ ή $\tilde{x}$) είναι η τιμή που χωρίζει τα διατεταγμένα δεδομένα σε δύο ίσα μέρη. Το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερο και το 50% είναι μεγαλύτερο από τη διάμεσο.

Υπολογισμός

Έστω $n$ παρατηρήσεις διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά: $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}$

Αν $n$ περιττός:

$$M_e = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$$

Αν $n$ άρτιος:

$$M_e = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}$$

Διάμεσος για Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Για δεδομένα σε κλάσεις, η διάμεσος υπολογίζεται με παρεμβολή:

$$M_e = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \cdot c$$

όπου:

• $L$ = κάτω όριο της διάμεσης κλάσης
• $n$ = συνολικό πλήθος παρατηρήσεων
• $F$ = αθροιστική συχνότητα πριν τη διάμεση κλάση
• $f_m$ = συχνότητα της διάμεσης κλάσης
• $c$ = πλάτος της κλάσης

Ιδιότητες της Διαμέσου

• Ανθεκτικότητα: Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές
• Ελάχιστο απόλυτων αποκλίσεων: $\sum |x_i - M_e| \leq \sum |x_i - c|$ για κάθε $c$
• Κατάλληλη για: Ασύμμετρες κατανομές, δεδομένα με outliers

Επικρατούσα Τιμή (Mode)

Ορισμός

Η επικρατούσα τιμή ($M_o$) είναι η τιμή που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα στο σύνολο δεδομένων.

Τύποι Κατανομών

• Μονοκόρυφη (Unimodal): Μία επικρατούσα τιμή
• Δικόρυφη (Bimodal): Δύο επικρατούσες τιμές
• Πολυκόρυφη (Multimodal): Περισσότερες επικρατούσες τιμές
• Χωρίς επικρατούσα τιμή: Όταν όλες οι τιμές έχουν ίδια συχνότητα

Επικρατούσα Τιμή για Κλάσεις

Για ομαδοποιημένα δεδομένα:

$$M_o = L + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \cdot c$$

όπου:

• $L$ = κάτω όριο της επικρατούσας κλάσης
• $d_1 = f_m - f_{m-1}$ (διαφορά με προηγούμενη κλάση)
• $d_2 = f_m - f_{m+1}$ (διαφορά με επόμενη κλάση)
• $c$ = πλάτος κλάσης

Σύγκριση Μέτρων Κεντρικής Τάσης

Σχέση σε Συμμετρικές και Ασύμμετρες Κατανομές

Συμμετρική κατανομή:

$$\bar{x} = M_e = M_o$$

Θετικά ασύμμετρη (ουρά δεξιά):

$$M_o < M_e < \bar{x}$$

Αρνητικά ασύμμετρη (ουρά αριστερά):

$$\bar{x} < M_e < M_o$$