Προώθηση Πυραύλου

Εισαγωγή στην Προώθηση Πυραύλου

Η προώθηση πυραύλου αποτελεί μια εντυπωσιακή εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος επιταχύνεται εκτοξεύοντας καύσιμα προς τα πίσω με μεγάλη ταχύτητα, αποκτώντας έτσι ορμή προς τα εμπρός.

Αρχή Λειτουργίας

Σε ένα απομονωμένο σύστημα (πύραυλος + καύσιμα), η συνολική ορμή διατηρείται:

$$\vec{P}_{\text{πυραύλου}} + \vec{P}_{\text{καυσίμων}} = \text{σταθ.}$$

Όταν τα καύσιμα εξέρχονται με ταχύτητα $\vec{u}$ ως προς τον πύραυλο (προς τα πίσω), ο πύραυλος αποκτά ορμή προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Εξίσωση Τσιολκόφσκι (Εξίσωση Πυραύλου)

Η θεμελιώδης εξίσωση που περιγράφει την κίνηση πυραύλου είναι:

$$v_f - v_i = u \ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$

όπου:

• $v_i$: αρχική ταχύτητα πυραύλου
• $v_f$: τελική ταχύτητα πυραύλου
• $u$: ταχύτητα εξαγωγής καυσίμων (ως προς τον πύραυλο)
• $m_i$: αρχική μάζα (πύραυλος + καύσιμα)
• $m_f$: τελική μάζα (πύραυλος χωρίς καύσιμα)

Απόδειξη της Εξίσωσης

Θεωρούμε πύραυλο μάζας $m$ που κινείται με ταχύτητα $v$. Σε χρόνο $dt$:

1. Εξέρχεται μάζα $|dm|$ με ταχύτητα $-u$ ως προς τον πύραυλο
2. Ο πύραυλος αποκτά μάζα $m + dm$ (με $dm < 0$) και ταχύτητα $v + dv$

Διατήρηση ορμής:

$$mv = (m + dm)(v + dv) + |dm|(v - u)$$

Απλοποιώντας (αμελώντας το $dm \cdot dv$):

$$m \, dv = -u \, dm$$

Ολοκληρώνοντας:

$$\int_{v_i}^{v_f} dv = -u \int_{m_i}^{m_f} \frac{dm}{m}$$

$$v_f - v_i = u \ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$

Ώση (Thrust)

Η δύναμη ώσης που ασκείται στον πύραυλο είναι:

$$F = u \cdot \dot{m}$$

όπου $\dot{m} = \left|\frac{dm}{dt}\right|$ ο ρυθμός καύσης (μάζα καυσίμων ανά μονάδα χρόνου).

Εξίσωση Κίνησης Πυραύλου

Λαμβάνοντας υπόψη τη βαρύτητα:

$$m\frac{dv}{dt} = F - mg = u\dot{m} - mg$$

Για κατακόρυφη εκτόξευση, ο πύραυλος θα ανυψωθεί αν:

$$F > mg \Rightarrow u\dot{m} > mg$$

Λόγος Μαζών

Ο λόγος μαζών $R = \frac{m_i}{m_f}$ είναι κρίσιμος για την επίδοση του πυραύλου:

$$\Delta v = u \ln R$$

Για μεγάλες αλλαγές ταχύτητας απαιτούνται πολύ μεγάλοι λόγοι μαζών.

Πολυβάθμιοι Πύραυλοι

Για να ξεπεραστούν οι περιορισμοί του λόγου μαζών, χρησιμοποιούνται πολυβάθμιοι πύραυλοι:

• Κάθε βαθμίδα έχει δικό της σύστημα προώθησης
• Μετά την εξάντληση των καυσίμων, η άδεια βαθμίδα αποκόπτεται
• Η επόμενη βαθμίδα συνεχίζει με μειωμένη μάζα

Συνολική μεταβολή ταχύτητας:

$$\Delta v_{\text{ολ}} = \sum_{i} u_i \ln\left(\frac{m_{i,\text{αρχ}}}{m_{i,\text{τελ}}}\right)$$

Ειδική Ώση

Η ειδική ώση $I_{sp}$ μετρά την αποδοτικότητα του κινητήρα:

$$I_{sp} = \frac{u}{g}$$

Μονάδες: δευτερόλεπτα (s)

Τυπικές τιμές:

• Χημικοί πύραυλοι: $250-450 \text{ s}$
• Ιοντικοί κινητήρες: $1000-5000 \text{ s}$

Εφαρμογές

Ταχύτητα Διαφυγής

Για να φτάσει ένας πύραυλος την ταχύτητα διαφυγής από τη Γη ($v_{\text{διαφ}} \approx 11.2 \text{ km/s}$), με τυπική ταχύτητα εξαγωγής $u \approx 3 \text{ km/s}$:

$$R = e^{v_{\text{διαφ}}/u} = e^{11.2/3} \approx 42$$

Δηλαδή μόνο το $1/42 \approx 2.4\%$ της αρχικής μάζας μπορεί να είναι ωφέλιμο φορτίο!