Κέντρο Μάζας

Εισαγωγή στο Κέντρο Μάζας

Το κέντρο μάζας ενός συστήματος σωμάτων είναι ένα φανταστικό σημείο που αντιπροσωπεύει τη μέση θέση της μάζας του συστήματος. Είναι το σημείο όπου θα μπορούσαμε να συγκεντρώσουμε όλη τη μάζα του συστήματος χωρίς να αλλάξει η συνολική κίνησή του.

Ορισμός για Σύστημα Σημειακών Μαζών

Για σύστημα $n$ σωματίων με μάζες $m_1, m_2, ..., m_n$ στις θέσεις $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ :

$\vec{r}_{\text{cm}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{M}$

όπου $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ η συνολική μάζα.

Συντεταγμένες Κέντρου Μάζας

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

$x_{\text{cm}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}, \quad y_{\text{cm}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}, \quad z_{\text{cm}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}$

Σύστημα Δύο Σωμάτων

Για δύο σώματα με μάζες $m_1$ και $m_2$ σε απόσταση $d$ μεταξύ τους (στον άξονα $x$ ):

$x_{\text{cm}} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Αν το $m_1$ είναι στην αρχή ( $x_1 = 0$ ) και το $m_2$ στη θέση $x_2 = d$ :

$x_{\text{cm}} = \frac{m_2 \cdot d}{m_1 + m_2}$

Το κέντρο μάζας βρίσκεται πιο κοντά στο βαρύτερο σώμα.

Ταχύτητα Κέντρου Μάζας

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

$\vec{v}_{\text{cm}} = \frac{d\vec{r}_{\text{cm}}}{dt} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i}{M}$

Αυτό σημαίνει:

$M \vec{v}_{\text{cm}} = \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i = \vec{P}_{\text{ολ}}$

Σημαντικό: Η συνολική ορμή ισούται με το γινόμενο της ολικής μάζας επί την ταχύτητα του κέντρου μάζας.

Κίνηση του Κέντρου Μάζας

Από τον δεύτερο νόμο του Newton για το σύστημα:

$\vec{F}_{\text{εξ}} = M \vec{a}_{\text{cm}}$

Συμπεράσματα:

Αν $\vec{F}_{\text{εξ}} = \vec{0}$ , το κέντρο μάζας κινείται ευθύγραμμα ομαλά ή ηρεμεί
Οι εσωτερικές δυνάμεις δεν επηρεάζουν την κίνηση του κέντρου μάζας
Το κέντρο μάζας κινείται σαν να ήταν όλη η μάζα συγκεντρωμένη εκεί

Διατήρηση της Κίνησης του Κέντρου Μάζας

Σε απομονωμένο σύστημα:

Η θέση του κέντρου μάζας μεταβάλλεται γραμμικά με τον χρόνο (αν κινείται)
Η ταχύτητα του κέντρου μάζας παραμένει σταθερή