Διατήρηση Ορμής

Αρχή Διατήρησης της Ορμής

Η αρχή διατήρησης της ορμής είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της Φυσικής. Ισχύει καθολικά, από τα υποατομικά σωματίδια έως τους γαλαξίες, και αποτελεί συνέπεια της ομοιογένειας του χώρου.

Διατύπωση της Αρχής

Αρχή Διατήρησης της Ορμής: Σε ένα απομονωμένο σύστημα σωμάτων (δηλαδή σύστημα στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις ή το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν), η συνολική ορμή παραμένει σταθερή.

$$\vec{P}_{\text{ολ}} = \sum_{i} m_i \vec{v}_i = \text{σταθ.}$$

Ή ισοδύναμα:

$$\vec{P}_{\text{αρχ}} = \vec{P}_{\text{τελ}}$$

Μαθηματική Απόδειξη

Από τον δεύτερο νόμο του Newton για σύστημα σωμάτων:

$$\vec{F}_{\text{εξ}} = \frac{d\vec{P}_{\text{ολ}}}{dt}$$

Αν $\vec{F}_{\text{εξ}} = \vec{0}$, τότε:

$$\frac{d\vec{P}_{\text{ολ}}}{dt} = \vec{0} \Rightarrow \vec{P}_{\text{ολ}} = \text{σταθ.}$$

Εσωτερικές και Εξωτερικές Δυνάμεις

Εσωτερικές Δυνάμεις

• Ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος
• Εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη (τρίτος νόμος Newton)
• Το άθροισμά τους είναι πάντα μηδέν
• Δεν επηρεάζουν τη συνολική ορμή του συστήματος

Εξωτερικές Δυνάμεις

• Ασκούνται από σώματα εκτός του συστήματος
• Μόνο αυτές μπορούν να μεταβάλουν τη συνολική ορμή
• Αν το άθροισμά τους είναι μηδέν, η ορμή διατηρείται

Διατήρηση σε Μία Διεύθυνση

Ακόμη κι αν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις, η ορμή διατηρείται στη διεύθυνση κάθετη σε αυτές:

$$\text{Αν } F_{\text{εξ},x} = 0 \Rightarrow P_x = \text{σταθ.}$$

Παράδειγμα: Σε βλήμα που κινείται υπό τη βαρύτητα, η οριζόντια συνιστώσα της ορμής διατηρείται (αν δεν υπάρχει αντίσταση αέρα).

Εφαρμογές

Κρούσεις

Στις κρούσεις μεταξύ δύο σωμάτων:

$$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{v}_1' + m_2 \vec{v}_2'$$

όπου $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ οι αρχικές και $\vec{v}_1', \vec{v}_2'$ οι τελικές ταχύτητες.

Εκρήξεις

Όταν ένα σώμα εκρήγνυται σε τμήματα:

$$\vec{P}_{\text{αρχ}} = \sum_{i} m_i \vec{v}_i' = \vec{P}_{\text{τελ}}$$

Προώθηση Πυραύλων

Ο πύραυλος εκτοξεύει καύσιμα προς τα πίσω, αποκτώντας ορμή προς τα εμπρός:

$$\Delta p_{\text{πύραυλος}} = -\Delta p_{\text{καυσίμων}}$$

Σύστημα Δύο Σωμάτων

Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

Σε μία διάσταση με γνωστές τις αρχικές ταχύτητες, αυτή η εξίσωση μας δίνει μία σχέση μεταξύ των τελικών ταχυτήτων. Χρειαζόμαστε μία ακόμη εξίσωση (π.χ. από τη διατήρηση ενέργειας ή τον συντελεστή αποκατάστασης).