Ανελαστικές Κρούσεις

Εισαγωγή στις Ανελαστικές Κρούσεις

Στις ανελαστικές κρούσεις διατηρείται η ορμή αλλά όχι η κινητική ενέργεια. Μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας (θερμότητα, ήχος, παραμόρφωση). Οι περισσότερες πραγματικές κρούσεις είναι ανελαστικές σε κάποιο βαθμό.

Χαρακτηριστικά Ανελαστικής Κρούσης

Διατήρηση ορμής (ΙΣΧΥΕΙ):

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

Διατήρηση κινητικής ενέργειας (ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ):

$$K_{\text{τελ}} < K_{\text{αρχ}}$$

Η απώλεια κινητικής ενέργειας είναι:

$$\Delta K = K_{\text{αρχ}} - K_{\text{τελ}} > 0$$

Συντελεστής Αποκατάστασης

Ο συντελεστής αποκατάστασης $e$ χαρακτηρίζει τον τύπο της κρούσης:

$$e = \frac{|v_2' - v_1'|}{|v_1 - v_2|} = \frac{\text{σχετική ταχύτητα απομάκρυνσης}}{\text{σχετική ταχύτητα προσέγγισης}}$$

• $e = 1$: Τέλεια ελαστική κρούση
• $0 < e < 1$: Ανελαστική κρούση
• $e = 0$: Πλαστική (απόλυτα ανελαστική) κρούση

Πλαστική (Απόλυτα Ανελαστική) Κρούση

Στην πλαστική κρούση, τα σώματα ενώνονται και κινούνται μαζί μετά την κρούση:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'$$

Η κοινή τελική ταχύτητα είναι:

$$v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

Αυτή είναι η κρούση με τη μέγιστη απώλεια κινητικής ενέργειας.

Απώλεια Κινητικής Ενέργειας στην Πλαστική Κρούση

Η απώλεια κινητικής ενέργειας σε πλαστική κρούση υπολογίζεται:

$$\Delta K = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_1 - v_2)^2$$

Η ποσότητα $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ονομάζεται ανηγμένη μάζα του συστήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις Πλαστικής Κρούσης

Κρούση με Ακίνητο Σώμα ($v_2 = 0$)

$$v' = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$$

$$\Delta K = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1^2$$

Μετωπική Κρούση με Αντίθετες Ταχύτητες

Αν $v_2 = -u$ (κίνηση προς τα αριστερά):

$$v' = \frac{m_1 v_1 - m_2 u}{m_1 + m_2}$$

Ίσες Μάζες με Αντίθετες Ταχύτητες

Αν $m_1 = m_2$ και $v_2 = -v_1$:

$$v' = 0$$

Τα σώματα σταματούν! Όλη η κινητική ενέργεια χάνεται.

Βαλλιστικό Εκκρεμές

Το βαλλιστικό εκκρεμές είναι κλασική εφαρμογή πλαστικής κρούσης:

1. Βλήμα μάζας $m$ με ταχύτητα $v$ εισχωρεί σε σφαίρα μάζας $M$
2. Το σύστημα $(m + M)$ αποκτά ταχύτητα $v'$
3. Το εκκρεμές ανεβαίνει σε ύψος $h$

Από διατήρηση ορμής:

$$m \cdot v = (m + M) \cdot v'$$

Από διατήρηση μηχανικής ενέργειας (μετά την κρούση):

$$\frac{1}{2}(m + M)v'^2 = (m + M)gh$$

Συνδυάζοντας:

$$v = \frac{m + M}{m} \sqrt{2gh}$$

Σύγκριση Τύπων Κρούσεων