Ελαστικές Κρούσεις

Εισαγωγή στις Ελαστικές Κρούσεις

Οι ελαστικές κρούσεις είναι ιδανικές κρούσεις στις οποίες διατηρείται τόσο η ορμή όσο και η κινητική ενέργεια του συστήματος. Αν και στην πράξη καμία κρούση δεν είναι απόλυτα ελαστική, πολλές κρούσεις μπορούν να προσεγγιστούν ως τέτοιες (π.χ. κρούσεις μεταξύ σκληρών σφαιρών, ατομικές συγκρούσεις).

Χαρακτηριστικά Ελαστικής Κρούσης

Σε μια ελαστική κρούση ισχύουν ταυτόχρονα:

1. Διατήρηση ορμής:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$$

2. Διατήρηση κινητικής ενέργειας:

$$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2$$

Λύση για Ευθεία Κεντρική Κρούση

Για δύο σώματα που κινούνται στην ίδια ευθεία, οι τελικές ταχύτητες δίνονται από:

$$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

$$v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

Ειδικές Περιπτώσεις

Ίσες Μάζες ($m_1 = m_2 = m$)

Όταν οι μάζες είναι ίσες:

$$v_1' = v_2 \quad \text{και} \quad v_2' = v_1$$

Τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες! Αυτό είναι χαρακτηριστικό στο μπιλιάρδο.

Κρούση με Ακίνητο Σώμα ($v_2 = 0$)

Αν το δεύτερο σώμα αρχικά ηρεμεί:

$$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$$

$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$$

Κρούση με Πολύ Βαρύ Σώμα ($m_2 >> m_1$)

Αν $m_2 >> m_1$ και $v_2 = 0$:

$$v_1' \approx -v_1 \quad \text{(αναπήδηση)}$$

$$v_2' \approx 0 \quad \text{(το βαρύ σχεδόν δεν κινείται)}$$

Παράδειγμα: Μπαλάκι που χτυπά σε τοίχο.

Κρούση με Πολύ Ελαφρύ Σώμα ($m_1 >> m_2$)

Αν $m_1 >> m_2$ και $v_2 = 0$:

$$v_1' \approx v_1 \quad \text{(το βαρύ συνεχίζει αμετάβλητο)}$$

$$v_2' \approx 2v_1 \quad \text{(το ελαφρύ αποκτά διπλάσια ταχύτητα)}$$

Συντελεστής Αποκατάστασης

Ο συντελεστής αποκατάστασης $e$ ορίζεται ως:

$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$$

Για ελαστική κρούση: $e = 1$

Ο συντελεστής αποκατάστασης εκφράζει το λόγο της σχετικής ταχύτητας απομάκρυνσης προς τη σχετική ταχύτητα προσέγγισης.

Διδιάστατες Ελαστικές Κρούσεις

Σε δύο διαστάσεις, η διατήρηση ορμής εφαρμόζεται σε κάθε διεύθυνση:

Διεύθυνση x:

$$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}'$$

Διεύθυνση y:

$$m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} = m_1 v_{1y}' + m_2 v_{2y}'$$

Μαζί με τη διατήρηση κινητικής ενέργειας, έχουμε 3 εξισώσεις για 4 αγνώστους, άρα χρειαζόμαστε μία επιπλέον πληροφορία (π.χ. γωνία εκτροπής).

Κρούση στο Κέντρο Μάζας

Στο σύστημα αναφοράς του κέντρου μάζας, η ανάλυση απλοποιείται:

• Η συνολική ορμή είναι μηδέν πριν και μετά την κρούση
• Τα σώματα κινούνται αντίθετα με ορμές ίσου μέτρου
• Μετά την ελαστική κρούση, αντιστρέφουν απλώς τις ταχύτητές τους