Δύναμη Lorentz

Η Δύναμη Lorentz

Η δύναμη Lorentz είναι η δύναμη που ασκείται σε ένα κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Αποτελεί θεμελιώδη έννοια του ηλεκτρομαγνητισμού και εξηγεί πολλά φαινόμενα, από τη λειτουργία ηλεκτροκινητήρων μέχρι την κίνηση σωματιδίων σε επιταχυντές.

Μαθηματική Έκφραση

Όταν ένα φορτίο $q$ κινείται με ταχύτητα $\vec{v}$ μέσα σε μαγνητικό πεδίο $\vec{B}$, δέχεται δύναμη:

$$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$$

Το μέτρο της δύναμης είναι:

$$F = |q|vB\sin\theta$$

όπου $\theta$ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\vec{v}$ και $\vec{B}$.

Ιδιότητες της Δύναμης Lorentz

• Είναι κάθετη τόσο στην ταχύτητα $\vec{v}$ όσο και στο πεδίο $\vec{B}$
• Δεν παράγει έργο καθώς $\vec{F} \perp \vec{v}$
• Η φορά της καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού
• Είναι μηδενική όταν $\vec{v} \parallel \vec{B}$ (δηλαδή $\theta = 0$ ή $\theta = 180°$)
• Είναι μέγιστη όταν $\vec{v} \perp \vec{B}$ (δηλαδή $\theta = 90°$)

Κανόνας Δεξιού Χεριού

Για να βρούμε τη φορά της δύναμης:

1. Τεντώνουμε τα δάχτυλα προς τη φορά της $\vec{v}$
2. Στρέφουμε την παλάμη ώστε τα δάχτυλα να μπορούν να κλείσουν προς τη φορά του $\vec{B}$
3. Ο αντίχειρας δείχνει τη φορά της $\vec{F}$ (για θετικό φορτίο)

Για αρνητικό φορτίο, η φορά αντιστρέφεται.

Κίνηση Φορτίου σε Ομογενές Μαγνητικό Πεδίο

Περίπτωση 1: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Το φορτίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Η δύναμη Lorentz παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης:

$$qvB = \frac{mv^2}{r}$$

Ακτίνα κυκλικής τροχιάς:

$$r = \frac{mv}{qB}$$

Περίοδος κίνησης:

$$T = \frac{2\pi m}{qB}$$

Περίπτωση 2: $\vec{v}$ υπό γωνία $\theta$ με το $\vec{B}$

Το φορτίο εκτελεί ελικοειδή κίνηση (σπείρα). Η συνιστώσα $v_{\parallel} = v\cos\theta$ παραμένει σταθερή, ενώ η $v_{\perp} = v\sin\theta$ προκαλεί την κυκλική κίνηση.

Δύναμη σε Αγωγό με Ρεύμα

Ένας ευθύγραμμος αγωγός μήκους $\ell$ που διαρρέεται από ρεύμα $I$ μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο $\vec{B}$ δέχεται δύναμη:

$$\vec{F} = I\vec{\ell} \times \vec{B}$$

Με μέτρο:

$$F = BI\ell\sin\theta$$

Ολική Δύναμη Lorentz

Όταν υπάρχει ταυτόχρονα ηλεκτρικό πεδίο $\vec{E}$ και μαγνητικό πεδίο $\vec{B}$, η ολική δύναμη είναι:

$$\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$$