Νόμος του Ampère

Ο Νόμος του Ampère

Ο νόμος του Ampère είναι ένας από τους θεμελιώδεις νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού που συσχετίζει το μαγνητικό πεδίο με το ηλεκτρικό ρεύμα που το δημιουργεί. Διατυπώθηκε από τον André-Marie Ampère το 1826 και αποτελεί μία από τις τέσσερις εξισώσεις Maxwell.

Διατύπωση του Νόμου

Η κυκλική ολοκλήρωση του μαγνητικού πεδίου $\vec{B}$ κατά μήκος μιας κλειστής καμπύλης C ισούται με $\mu_0$ επί το συνολικό ρεύμα που διαπερνά την επιφάνεια που ορίζει η καμπύλη:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{εγκλ}}$$

όπου:

• $\oint_C$ συμβολίζει την κυκλική ολοκλήρωση κατά μήκος της κλειστής καμπύλης C
• $I_{\text{εγκλ}}$ είναι το συνολικό ρεύμα που περνά μέσα από την επιφάνεια που ορίζει η C
• $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T$\cdot$m/A

Επιλογή Amperian Loop

Για να εφαρμόσουμε τον νόμο του Ampère, επιλέγουμε μια κατάλληλη κλειστή καμπύλη (Amperian loop) που:

1. Εκμεταλλεύεται τη συμμετρία του προβλήματος
2. Το $\vec{B}$ είναι σταθερό κατά μήκος της ή παράλληλο/κάθετο στο $d\vec{\ell}$
3. Απλοποιεί τον υπολογισμό του ολοκληρώματος

Εφαρμογή: Ευθύγραμμος Αγωγός

Για έναν άπειρο ευθύγραμμο αγωγό με ρεύμα $I$:

Επιλέγουμε κυκλικό Amperian loop ακτίνας $r$ με κέντρο τον αγωγό:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 I$$

Άρα:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Εφαρμογή: Σωληνοειδές

Για ένα ιδανικό σωληνοειδές με $n$ σπείρες ανά μονάδα μήκους:

Επιλέγουμε ορθογώνιο Amperian loop με μία πλευρά μέσα στο σωληνοειδές και μία έξω:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = B \cdot \ell = \mu_0 n \ell I$$

Άρα:

$$B = \mu_0 n I$$

Εφαρμογή: Τοροειδές

Για ένα τοροειδές με $N$ συνολικές σπείρες και μέση ακτίνα $R$:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = B \cdot 2\pi R = \mu_0 N I$$

Άρα:

$$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}$$

Γενικευμένος Νόμος Ampère-Maxwell

Ο Maxwell συμπλήρωσε τον νόμο προσθέτοντας το ρεύμα μετατόπισης:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{εγκλ}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$

όπου $\frac{d\Phi_E}{dt}$ είναι ο ρυθμός μεταβολής της ηλεκτρικής ροής.

Σύγκριση με τον Νόμο του Gauss

Όπως ο νόμος του Gauss συσχετίζει το ηλεκτρικό πεδίο με το φορτίο, έτσι ο νόμος του Ampère συσχετίζει το μαγνητικό πεδίο με το ρεύμα: