Νόμος Biot-Savart

Ο Νόμος Biot-Savart

Ο νόμος Biot-Savart είναι θεμελιώδης νόμος του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από ένα στοιχειώδες τμήμα αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα. Διατυπώθηκε το 1820 από τους Jean-Baptiste Biot και Félix Savart.

Μαθηματική Διατύπωση

Το στοιχειώδες μαγνητικό πεδίο $d\vec{B}$ που δημιουργείται από ένα στοιχειώδες τμήμα αγωγού $d\vec{\ell}$ που διαρρέεται από ρεύμα $I$ σε ένα σημείο που απέχει $\vec{r}$ δίνεται από:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{\ell} \times \hat{r}}{r^2}$$

ή ισοδύναμα:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$$

όπου $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T$\cdot$m/A είναι η μαγνητική διαπερατότητα του κενού.

Εφαρμογή: Μαγνητικό Πεδίο Ευθύγραμμου Αγωγού

Για έναν άπειρο ευθύγραμμο αγωγό που διαρρέεται από ρεύμα $I$, το μαγνητικό πεδίο σε απόσταση $r$ από τον αγωγό είναι:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Οι δυναμικές γραμμές είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο τον αγωγό. Η φορά τους καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού: αν ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του ρεύματος, τα υπόλοιπα δάχτυλα δείχνουν τη φορά του πεδίου.

Εφαρμογή: Μαγνητικό Πεδίο Κυκλικού Βρόχου

Για έναν κυκλικό βρόχο ακτίνας $R$ που διαρρέεται από ρεύμα $I$, το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του βρόχου είναι:

$$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$$

Το πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο του βρόχου. Για $N$ σπείρες:

$$B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$$

Μαγνητικό Πεδίο στον Άξονα Κυκλικού Βρόχου

Σε απόσταση $x$ από το κέντρο του βρόχου, κατά μήκος του άξονά του:

$$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$$

Για $x \gg R$, το πεδίο προσεγγίζει αυτό ενός μαγνητικού διπόλου:

$$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2x^3} = \frac{\mu_0 \mu_m}{2\pi x^3}$$

όπου $\mu_m = IA = I\pi R^2$ είναι η μαγνητική ροπή του βρόχου.

Σύγκριση με τον Νόμο του Coulomb

Ο νόμος Biot-Savart είναι το μαγνητικό ανάλογο του νόμου του Coulomb:

Αρχή της Επαλληλίας

Για να βρούμε το συνολικό μαγνητικό πεδίο ενός αγωγού, ολοκληρώνουμε πάνω σε όλα τα στοιχειώδη τμήματα:

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{\ell} \times \hat{r}}{r^2}$$