Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Η απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία είναι το μήκος του καθέτου ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει το σημείο με την ευθεία.

Τύπος Απόστασης

Έστω σημείο $P(x_0, y_0)$ και ευθεία $\varepsilon: ax + by + c = 0$ (με $a^2 + b^2 \neq 0$).

Η απόσταση του $P$ από την $\varepsilon$ είναι:

$$d(P, \varepsilon) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Απόδειξη

Έστω $P'$ η προβολή του $P$ πάνω στην ευθεία $\varepsilon$ (το σημείο της ευθείας που απέχει ελάχιστα από το $P$).

Το διάνυσμα $\vec{n} = (a, b)$ είναι κάθετο στην ευθεία $\varepsilon$.

Για οποιοδήποτε σημείο $Q(x_1, y_1)$ της ευθείας, η απόσταση υπολογίζεται από την προβολή του $\overrightarrow{QP}$ πάνω στο $\vec{n}$:

$$d = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Επειδή το $Q$ ανήκει στην ευθεία: $ax_1 + by_1 + c = 0 \Rightarrow ax_1 + by_1 = -c$

Άρα: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Θέση Σημείου ως προς Ευθεία

Για να προσδιορίσουμε σε ποια πλευρά της ευθείας $ax + by + c = 0$ βρίσκεται ένα σημείο $P(x_0, y_0)$:

• Υπολογίζουμε $L = ax_0 + by_0 + c$
• Αν $L > 0$: το $P$ βρίσκεται στη μία πλευρά
• Αν $L < 0$: το $P$ βρίσκεται στην άλλη πλευρά
• Αν $L = 0$: το $P$ ανήκει στην ευθεία

Απόσταση Παράλληλων Ευθειών

Έστω δύο παράλληλες ευθείες:

• $\varepsilon_1: ax + by + c_1 = 0$
• $\varepsilon_2: ax + by + c_2 = 0$

Η απόστασή τους είναι:

$$d(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Εφαρμογές

• Υπολογισμός ύψους τριγώνου
• Εύρεση εμβαδού τριγώνου
• Εύρεση ακτίνας εγγεγραμμένου κύκλου
• Έλεγχος εφαπτομένης κύκλου