Κλίση Ευθείας

Κλίση Ευθείας

Η κλίση μιας ευθείας είναι ένας αριθμός που εκφράζει την «απότομη» αυτής. Μετρά πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η $y$ συντεταγμένη ως προς την $x$.

Ορισμός Κλίσης

Έστω δύο διαφορετικά σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ μιας ευθείας με $x_1 \neq x_2$.

Η κλίση της ευθείας $AB$ ορίζεται ως:

$$\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Σημείωση: Η κλίση δεν εξαρτάται από την επιλογή των σημείων πάνω στην ευθεία.

Κλίση και Γωνία

Αν $\omega$ είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα $x$, τότε:

$$\lambda = \tan \omega$$

όπου $\omega \in [0°, 180°)$ και $\omega \neq 90°$.

Ειδικές Περιπτώσεις

Εξίσωση Ευθείας με Κλίση

Αν γνωρίζουμε την κλίση $\lambda$ και ένα σημείο $A(x_0, y_0)$ της ευθείας:

$$y - y_0 = \lambda (x - x_0)$$

Αν γνωρίζουμε την κλίση $\lambda$ και το σημείο τομής με τον άξονα $y$ (τεταγμένη επί την αρχή $\beta$):

$$y = \lambda x + \beta$$

Ερμηνεία της Κλίσης

• $\lambda > 0$: Η ευθεία «ανεβαίνει» από αριστερά προς τα δεξιά
• $\lambda < 0$: Η ευθεία «κατεβαίνει» από αριστερά προς τα δεξιά
• $\lambda = 0$: Οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον άξονα $x$)
• $|\lambda|$ μεγάλο: Η ευθεία είναι πολύ απότομη
• $|\lambda|$ μικρό: Η ευθεία είναι σχεδόν οριζόντια

Κλίση και Συναρτήσεις

Για τη γραμμική συνάρτηση $f(x) = ax + b$:

• Η κλίση της γραφικής παράστασης είναι $a = f'(x)$
• Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης είναι σταθερός και ίσος με $a$