Εξισώσεις Ευθείας

Εισαγωγή στις Εξισώσεις Ευθείας

Η ευθεία είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα και η μελέτη της αποτελεί θεμέλιο της αναλυτικής γεωμετρίας. Κάθε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να περιγραφεί με μια αλγεβρική εξίσωση.

Κλίση Ευθείας

Η κλίση (ή συντελεστής διεύθυνσης) μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα $Ox$:

$$\lambda = \tan\theta$$

Αν η ευθεία περνά από δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \ne x_2$, τότε:

$$\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Ειδικές περιπτώσεις κλίσης:

• $\lambda = 0$: Οριζόντια ευθεία
• $\lambda > 0$: Η ευθεία ανεβαίνει προς τα δεξιά
• $\lambda < 0$: Η ευθεία κατεβαίνει προς τα δεξιά
• $\lambda$ αόριστη: Κατακόρυφη ευθεία

Μορφές Εξίσωσης Ευθείας

1. Εξίσωση Κλίσης-Τεταγμένης (Slope-Intercept Form)

$$y = \lambda x + \beta$$

όπου:

• $\lambda$: η κλίση της ευθείας
• $\beta$: η τεταγμένη στην αρχή (το σημείο τομής με τον άξονα $y$)

Αυτή η μορφή είναι ιδανική όταν γνωρίζουμε την κλίση και ένα σημείο στον άξονα $y$.

2. Εξίσωση Σημείου-Κλίσης (Point-Slope Form)

Αν η ευθεία περνά από το σημείο $A(x_0, y_0)$ και έχει κλίση $\lambda$:

$$y - y_0 = \lambda(x - x_0)$$

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη όταν γνωρίζουμε ένα σημείο και την κλίση.

3. Γενική Μορφή (General Form)

$$Ax + By + \Gamma = 0$$

όπου $A$, $B$, $\Gamma$ πραγματικοί αριθμοί με $A^2 + B^2 \ne 0$.

Η κλίση υπολογίζεται: $\lambda = -\frac{A}{B}$ (αν $B \ne 0$)

4. Εξίσωση Δύο Σημείων

Αν η ευθεία περνά από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

5. Εξίσωση Τμημάτων (Intercept Form)

Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα $x$ στο $a$ και τον άξονα $y$ στο $\beta$:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{\beta} = 1$$

Παράλληλες και Κάθετες Ευθείες

Παράλληλες Ευθείες

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν ίσες κλίσεις:

$$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \Leftrightarrow \lambda_1 = \lambda_2$$

Κάθετες Ευθείες

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν το γινόμενο των κλίσεών τους ισούται με $-1$:

$$\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$$

Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Η απόσταση του σημείου $M(x_0, y_0)$ από την ευθεία $\varepsilon: Ax + By + \Gamma = 0$ είναι:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Γωνία Δύο Ευθειών

Η γωνία $\phi$ μεταξύ δύο ευθειών με κλίσεις $\lambda_1$ και $\lambda_2$ δίνεται από:

$$\tan\phi = \left|\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{1 + \lambda_1 \cdot \lambda_2}\right|$$

Σημείο Τομής Δύο Ευθειών

Το σημείο τομής δύο ευθειών βρίσκεται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους.

Δέσμη Ευθειών

Η δέσμη ευθειών που περνούν από το σημείο τομής των $\varepsilon_1: A_1x + B_1y + \Gamma_1 = 0$ και $\varepsilon_2: A_2x + B_2y + \Gamma_2 = 0$ έχει εξίσωση:

$$(A_1x + B_1y + \Gamma_1) + k(A_2x + B_2y + \Gamma_2) = 0$$

όπου $k \in \mathbb{R}$.