Εμβαδόν με Συντεταγμένες

Εμβαδόν με Συντεταγμένες

Η Αναλυτική Γεωμετρία μας επιτρέπει να υπολογίζουμε εμβαδά γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κορυφών τους.

Εμβαδόν Τριγώνου

Έστω τρίγωνο με κορυφές $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$.

Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

$$E = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Εναλλακτική Μορφή με Ορίζουσα

$$E = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} \right|$$

Μορφή με Βάση και Ύψος

Αν γνωρίζουμε τη βάση $|AB|$ και το ύψος $h$ από το $C$:

$$E = \frac{1}{2} |AB| \cdot h = \frac{1}{2} |AB| \cdot d(C, AB)$$

Συνθήκη Συνευθειακότητας

Τρία σημεία $A$, $B$, $C$ είναι συνευθειακά (ανήκουν στην ίδια ευθεία) αν και μόνο αν το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ είναι μηδέν:

$$E_{ABC} = 0 \Leftrightarrow x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$$

Εμβαδόν Τετραπλεύρου

Για τετράπλευρο με κορυφές $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$ (κατά σειρά):

$$E = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_4) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_4 - y_2) + x_4(y_1 - y_3)|$$

Τύπος «Κορδονιού» (Shoelace Formula)

$$E = \frac{1}{2} |(x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_2 y_3 - x_3 y_2) + (x_3 y_4 - x_4 y_3) + (x_4 y_1 - x_1 y_4)|$$

Εμβαδόν Πολυγώνου

Για πολύγωνο με $n$ κορυφές $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ (κατά σειρά):

$$E = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$$

όπου $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$.

Εφαρμογές

• Υπολογισμός εμβαδού χωραφιών από GPS συντεταγμένες
• Έλεγχος συνευθειακότητας σημείων
• Υπολογισμός εμβαδού σύνθετων σχημάτων
• Τριγωνομέτρηση και χαρτογραφία