Παράλληλες και Κάθετες Ευθείες

Παράλληλες και Κάθετες Ευθείες

Η σχέση μεταξύ των κλίσεων δύο ευθειών μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε αν οι ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες.

Παράλληλες Ευθείες

Δύο ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν την ίδια κλίση:

$$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \Leftrightarrow \lambda_1 = \lambda_2$$

Παρατήρηση: Δύο κατακόρυφες ευθείες (χωρίς ορισμένη κλίση) είναι επίσης παράλληλες.

Αναλυτικός Έλεγχος

Για ευθείες σε γενική μορφή $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ και $a_2x + b_2y + c_2 = 0$:

$$\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$$

Αν $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, τότε οι ευθείες ταυτίζονται.

Κάθετες Ευθείες

Δύο ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ με κλίσεις $\lambda_1$ και $\lambda_2$ (όπου κανείς δεν είναι αόριστος) είναι κάθετες αν και μόνο αν:

$$\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$$

ή ισοδύναμα:

$$\lambda_2 = -\frac{1}{\lambda_1}$$

Παρατήρηση: Μια οριζόντια ευθεία ($\lambda = 0$) είναι κάθετη σε μια κατακόρυφη ευθεία (αόριστη κλίση).

Αναλυτικός Έλεγχος

Για ευθείες σε γενική μορφή:

$$\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$$

Γωνία Δύο Ευθειών

Η οξεία γωνία $\theta$ μεταξύ δύο ευθειών με κλίσεις $\lambda_1$ και $\lambda_2$ δίνεται από:

$$\tan \theta = \left| \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{1 + \lambda_1 \lambda_2} \right|$$

εφόσον $\lambda_1 \lambda_2 \neq -1$ (δηλαδή οι ευθείες δεν είναι κάθετες).

Εύρεση Παράλληλης Ευθείας

Η ευθεία παράλληλη στην $y = \lambda x + \beta$ που διέρχεται από το σημείο $A(x_0, y_0)$:

$$y - y_0 = \lambda (x - x_0)$$

Εύρεση Κάθετης Ευθείας

Η ευθεία κάθετη στην $y = \lambda x + \beta$ ($\lambda \neq 0$) που διέρχεται από το σημείο $A(x_0, y_0)$:

$$y - y_0 = -\frac{1}{\lambda} (x - x_0)$$