Τύπος Απόστασης

Τύπος Απόστασης Δύο Σημείων

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο υπολογίζεται με τον τύπο που προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Παραγωγή του Τύπου

Έστω δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$.

Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα το $AB$ και κάθετες πλευρές παράλληλες στους άξονες:

• Οριζόντια πλευρά: $|x_2 - x_1|$
• Κατακόρυφη πλευρά: $|y_2 - y_1|$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$

Τύπος Απόστασης

$$d(A, B) = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Σημείωση: Η απόσταση είναι πάντα θετική ή μηδέν (μόνο αν $A = B$).

Απόσταση από την Αρχή

Η απόσταση ενός σημείου $P(x, y)$ από την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ είναι:

$$|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Ιδιότητες της Απόστασης

1. Θετικότητα: $d(A, B) \geq 0$ και $d(A, B) = 0 \Leftrightarrow A = B$
2. Συμμετρία: $d(A, B) = d(B, A)$
3. Τριγωνική ανισότητα: $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$

Εφαρμογές

Ο τύπος απόστασης χρησιμοποιείται για:

• Υπολογισμό μήκους ευθύγραμμου τμήματος
• Έλεγχο αν τρία σημεία είναι συνευθειακά
• Εύρεση της περιμέτρου πολυγώνου
• Έλεγχο αν ένα σημείο ανήκει σε κύκλο

Κύκλος με Κέντρο και Ακτίνα

Ο κύκλος με κέντρο $K(a, b)$ και ακτίνα $r$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $P(x, y)$ για τα οποία:

$$|PK| = r \Rightarrow \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$$

ή ισοδύναμα:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$