Τρίγωνα

Εισαγωγή στα Τρίγωνα

Το τρίγωνο είναι ένα από τα θεμελιώδη σχήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Αποτελείται από τρεις κορυφές, τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα $180°$ ή $\pi$ ακτίνια.

Είδη Τριγώνων ως προς τις Πλευρές

Ισόπλευρο Τρίγωνο

Έχει τρεις ίσες πλευρές: $a = b = c$. Κάθε γωνία του ισούται με $60°$.

Ισοσκελές Τρίγωνο

Έχει δύο ίσες πλευρές. Αν $a = b$, τότε οι απέναντι γωνίες είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{B}$.

Σκαληνό Τρίγωνο

Όλες οι πλευρές έχουν διαφορετικό μήκος: $a \ne b \ne c$.

Είδη Τριγώνων ως προς τις Γωνίες

Οξυγώνιο Τρίγωνο

Όλες οι γωνίες είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από $90°$.

Ορθογώνιο Τρίγωνο

Έχει μία ορθή γωνία ($90°$). Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα.

Αμβλυγώνιο Τρίγωνο

Έχει μία αμβλεία γωνία, δηλαδή μεγαλύτερη από $90°$.

Βασικές Ιδιότητες

Άθροισμα Γωνιών

Για κάθε τρίγωνο $ABC$ ισχύει:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$$

Ανισότητα Τριγώνου

Για να υπάρχει τρίγωνο με πλευρές $a$, $b$, $c$, πρέπει να ισχύουν:

$$a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b$$

Σχέση Πλευρών και Γωνιών

Σε κάθε τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.

Τύποι Εμβαδού

Βασικός Τύπος

Αν $\beta$ είναι η βάση και $h$ το αντίστοιχο ύψος:

$$E = \frac{1}{2} \cdot \beta \cdot h$$

Τύπος του Ήρωνα

Αν $a$, $b$, $c$ είναι οι πλευρές και $\tau = \frac{a+b+c}{2}$ η ημιπερίμετρος:

$$E = \sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)}$$

Τύπος με Ημίτονο

Αν γνωρίζουμε δύο πλευρές $a$, $b$ και την περιεχόμενη γωνία $\gamma$:

$$E = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$

Σημαντικές Γραμμές του Τριγώνου

Ύψη

Τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο.

Διάμεσοι

Οι διάμεσοι τέμνονται στο κέντρο βάρους, το οποίο χωρίζει κάθε διάμεσο σε λόγο $2:1$.

Διχοτόμοι

Οι διχοτόμοι τέμνονται στο έγκεντρο, που είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Μεσοκάθετοι

Οι μεσοκάθετοι τέμνονται στο περίκεντρο, που είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ειδικοί Τύποι για Ισόπλευρο Τρίγωνο

Αν $a$ είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου:

• Ύψος: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• Εμβαδόν: $E = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
• Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$