Νόμος Ημιτόνων

Εισαγωγή στον Νόμο των Ημιτόνων

Ο νόμος των ημιτόνων είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα της τριγωνωμετρίας που συνδέει τις πλευρές ενός τριγώνου με τα ημίτονα των απέναντι γωνιών. Χρησιμοποιείται για την επίλυση τριγώνων όταν γνωρίζουμε δύο γωνίες και μία πλευρά, ή δύο πλευρές και μία γωνία απέναντι από μία από αυτές.

Διατύπωση του Νόμου

Σε κάθε τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $a$, $b$, $c$ απέναντι από τις γωνίες $A$, $B$, $Γ$ αντίστοιχα, ισχύει:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin Γ} = 2R$$

όπου $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R$. Φέρνουμε τη διάμετρο $BD$ από την κορυφή $B$.

Το εγγεγραμμένο τόξο $BC$ αντιστοιχεί στην κεντρική γωνία $2A$ (καθώς η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της κεντρικής).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $BCD$ (ορθή στο $C$ γιατί βαίνει σε διάμετρο):

$$\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$$

Άρα: $a = 2R \sin A$, δηλαδή $\frac{a}{\sin A} = 2R$

Ομοίως αποδεικνύεται για τις άλλες πλευρές.

Εναλλακτικές Μορφές

Ο νόμος μπορεί να γραφεί και ως:

$$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin Γ}{c}$$

ή για κάθε ζεύγος πλευρών:

$$\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}$$

Περιπτώσεις Εφαρμογής

Περίπτωση ΓΓΠ (Γωνία-Γωνία-Πλευρά)

Όταν γνωρίζουμε δύο γωνίες και μία πλευρά, βρίσκουμε πρώτα την τρίτη γωνία (αφού το άθροισμα είναι $180°$) και μετά εφαρμόζουμε τον νόμο.

Περίπτωση ΠΓΠ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά, αμφίβολη)

Όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές και τη γωνία απέναντι από τη μικρότερη, μπορεί να υπάρχουν 0, 1 ή 2 λύσεις (αμφίβολη περίπτωση).

Η Αμφίβολη Περίπτωση

Όταν δίνονται οι πλευρές $a$, $b$ και η γωνία $A$ (απέναντι από την $a$), από τη σχέση:

$$\sin B = \frac{b \sin A}{a}$$

• Αν $\sin B > 1$: Δεν υπάρχει τρίγωνο
• Αν $\sin B = 1$: Ένα τρίγωνο (ορθογώνιο με $B = 90°$)
• Αν $\sin B < 1$: Δύο πιθανές τιμές για $B$: μία οξεία $B_1$ και μία αμβλεία $B_2 = 180° - B_1$

Για κάθε πιθανή $B$, ελέγχουμε αν $A + B < 180°$ για να είναι έγκυρο τρίγωνο.

Εφαρμογή: Υπολογισμός Εμβαδού

Σε συνδυασμό με τον τύπο εμβαδού $E = \frac{1}{2}ab\sin Γ$, μπορούμε να εκφράσουμε το εμβαδόν:

$$E = \frac{a^2 \sin B \sin Γ}{2\sin A} = \frac{abc}{4R}$$

Σχέση με την Ακτίνα Περιγεγραμμένου Κύκλου

Από τον νόμο προκύπτει:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin Γ}$$

Αυτός ο τύπος είναι χρήσιμος για τον υπολογισμό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου.