Βασικές Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στην Τριγωνομετρία

Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των τριγώνων και τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών τους. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις αποτελούν τη βάση αυτού του κλάδου και έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Το Ορθογώνιο Τρίγωνο

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στο $C$, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας οξείας γωνίας $\theta$ ορίζονται ως εξής:

$$\sin\theta = \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$$

$$\cos\theta = \frac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$$

$$\tan\theta = \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Ο Μοναδιαίος Κύκλος

Ο μοναδιαίος κύκλος είναι ένας κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων $(0, 0)$ και ακτίνα $r = 1$. Για κάθε γωνία $\theta$, το σημείο $P$ στον μοναδιαίο κύκλο έχει συντεταγμένες:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

Αυτό σημαίνει ότι:

• Η τετμημένη (x-συντεταγμένη) του σημείου $P$ είναι $\cos\theta$
• Η τεταγμένη (y-συντεταγμένη) του σημείου $P$ είναι $\sin\theta$

Βασικές Τιμές Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Οι πιο σημαντικές γωνίες και οι τριγωνομετρικές τους τιμές είναι:

Πρόσημα στα Τεταρτημόρια

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν διαφορετικά πρόσημα σε κάθε τεταρτημόριο:

• 1ο Τεταρτημόριο $(0° < \theta < 90°)$: Όλες θετικές
• 2ο Τεταρτημόριο $(90° < \theta < 180°)$: Μόνο $\sin\theta > 0$
• 3ο Τεταρτημόριο $(180° < \theta < 270°)$: Μόνο $\tan\theta > 0$
• 4ο Τεταρτημόριο $(270° < \theta < 360°)$: Μόνο $\cos\theta > 0$

Συμπληρωματικές και Παραπληρωματικές Γωνίες

Για συμπληρωματικές γωνίες (άθροισμα $90°$):

$$\sin(90° - \theta) = \cos\theta$$

$$\cos(90° - \theta) = \sin\theta$$

Για παραπληρωματικές γωνίες (άθροισμα $180°$):

$$\sin(180° - \theta) = \sin\theta$$

$$\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$$

Οι Αντίστροφες Συναρτήσεις: cot, sec, csc

Εκτός από τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπάρχουν και οι αντίστροφές τους:

$$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

$$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$

$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$

Μετατροπή Μοιρών σε Ακτίνια

Η σχέση μεταξύ μοιρών και ακτινίων είναι:

$$\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot \frac{\pi}{180°}$$

$$\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot \frac{180°}{\pi}$$

Για παράδειγμα, $90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ rad.