Νόμος Συνημιτόνων

Εισαγωγή στον Νόμο Συνημιτόνων

Ο νόμος συνημιτόνων είναι μια γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος για οποιοδήποτε τρίγωνο. Χρησιμοποιείται για την επίλυση τριγώνων όταν γνωρίζουμε τρεις πλευρές ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία.

Διατύπωση του Νόμου

Σε κάθε τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $a$, $b$, $c$ απέναντι από τις γωνίες $A$, $B$, $Γ$ αντίστοιχα, ισχύουν:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos Γ$$

Απόδειξη (με Αναλυτική Μέθοδο)

Τοποθετούμε το τρίγωνο στο καρτεσιανό επίπεδο με την κορυφή $A$ στην αρχή των αξόνων και την πλευρά $AB$ κατά μήκος του θετικού άξονα $x$.

Οι συντεταγμένες είναι:

• $A = (0, 0)$
• $B = (c, 0)$
• $C = (b\cos A, b\sin A)$

Η απόσταση $BC = a$ δίνεται από:

$$a^2 = (b\cos A - c)^2 + (b\sin A)^2$$

$$= b^2\cos^2 A - 2bc\cos A + c^2 + b^2\sin^2 A$$

$$= b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc\cos A$$

$$= b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Σχέση με το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Όταν η γωνία $A = 90°$, τότε $\cos A = 0$, και ο τύπος γίνεται:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

που είναι ακριβώς το Πυθαγόρειο θεώρημα. Άρα ο νόμος συνημιτόνων είναι γενίκευση του Πυθαγορείου.

Υπολογισμός Γωνιών από Πλευρές

Αναδιατάσσοντας τους τύπους, μπορούμε να υπολογίσουμε τις γωνίες:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

$$\cos Γ = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Περιπτώσεις Εφαρμογής

Περίπτωση ΠΠΠ (Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά)

Όταν γνωρίζουμε και τις τρεις πλευρές, χρησιμοποιούμε τους τύπους για τα συνημίτονα για να υπολογίσουμε τις γωνίες.

Περίπτωση ΠΓΠ (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά)

Όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία, υπολογίζουμε πρώτα την τρίτη πλευρά και μετά τις υπόλοιπες γωνίες.

Κριτήριο Είδους Τριγώνου

Από τον νόμο συνημιτόνων προκύπτει:

• Αν $a^2 < b^2 + c^2$: η γωνία $A$ είναι οξεία ($\cos A > 0$)
• Αν $a^2 = b^2 + c^2$: η γωνία $A$ είναι ορθή ($\cos A = 0$)
• Αν $a^2 > b^2 + c^2$: η γωνία $A$ είναι αμβλεία ($\cos A < 0$)

Τύπος του Stewart

Ο νόμος συνημιτόνων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του θεωρήματος του Stewart:

Αν $d$ είναι η διάμεσος από την κορυφή $A$ στη μέση $M$ της $BC$, τότε:

$$d^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$

Εφαρμογή: Τύπος του Ήρωνα

Από τον νόμο συνημιτόνων προκύπτει ο τύπος του Ήρωνα για το εμβαδόν:

$$E = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

όπου $s = \frac{a+b+c}{2}$ η ημιπερίμετρος.