Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Μεσαίο

Εισαγωγή στις Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι εξισώσεις που ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται. Αποτελούν θεμελιώδη εργαλεία για την απλοποίηση εκφράσεων και την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Θεμελιώδης Πυθαγόρεια Ταυτότητα

Η πιο σημαντική τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Από αυτήν προκύπτουν δύο παραλλαγές:

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Ταυτότητες Αθροίσματος και Διαφοράς Γωνιών

Για δύο γωνίες $\alpha$ και $\beta$ ισχύουν:

Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

Ταυτότητες Διπλασίου Γωνίας

Όταν $\alpha = \beta$ , οι παραπάνω τύποι δίνουν τις ταυτότητες διπλασίου γωνίας:

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Ταυτότητες Ημίσεος Γωνίας

Από τις ταυτότητες διπλασίου γωνίας προκύπτουν:

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία $\frac{\theta}{2}$ .

Ταυτότητες Γινομένου σε Άθροισμα

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$

Ταυτότητες Αθροίσματος σε Γινόμενο

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

Βοηθητικές Γωνίες

Μια έκφραση της μορφής $a\sin\theta + b\cos\theta$ μπορεί να γραφεί ως:

$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \phi)$

όπου $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ και $\tan\phi = \frac{b}{a}$

Εναλλακτικά:

$a\sin\theta + b\cos\theta = R\cos(\theta - \psi)$

όπου $\tan\psi = \frac{a}{b}$

Βασικοί Τύποι

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Απόδειξη ταυτότητας με την Πυθαγόρεια

Αποδείξτε ότι $\frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta$

Χρησιμοποιούμε την Πυθαγόρεια ταυτότητα $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , από την οποία προκύπτει:

$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$

Άρα:

$\frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta$

Η ταυτότητα αποδείχθηκε.

Παράδειγμα 2

Υπολογισμός με τύπους αθροίσματος

Υπολογίστε το $\sin 75°$ χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες αθροίσματος.

Γράφουμε $75° = 45° + 30°$ και εφαρμόζουμε τον τύπο αθροίσματος:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Παράδειγμα 3

Εφαρμογή ταυτότητας διπλασίου γωνίας

Αν $\cos\theta = \frac{3}{5}$ και $0° < \theta < 90°$ , βρείτε τα $\sin 2\theta$ και $\cos 2\theta$ .

Βήμα 1: Βρίσκουμε το $\sin\theta$ από την Πυθαγόρεια ταυτότητα:

$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(θετικό γιατί $\theta$ στο 1ο τεταρτημόριο)

Βήμα 2: Υπολογίζουμε $\sin 2\theta$ :

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε $\cos 2\theta$ :

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

Παράδειγμα 4

Μετατροπή αθροίσματος σε γινόμενο

Απλοποιήστε την έκφραση $\sin 50° + \sin 10°$ .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Με $\alpha = 50°$ και $\beta = 10°$ :

$\sin 50° + \sin 10° = 2\sin\frac{50° + 10°}{2}\cos\frac{50° - 10°}{2}$

$= 2\sin 30°\cos 20° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20° = \cos 20°$

Παράδειγμα 5

Βοηθητική γωνία

Γράψτε την έκφραση $3\sin\theta + 4\cos\theta$ στη μορφή $R\sin(\theta + \phi)$ .

Βήμα 1: Υπολογίζουμε το $R$ :

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Βήμα 2: Υπολογίζουμε τη γωνία $\phi$ :

$\tan\phi = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$

$\phi = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13°$

Άρα:

$3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.13°)$

Σχετικά Θέματα

basic-trigonometric-functions trigonometric-graphs trigonometry-applications

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Μεσαίο

Εισαγωγή στις Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Θεμελιώδης Πυθαγόρεια Ταυτότητα

Η πιο σημαντική τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Από αυτήν προκύπτουν δύο παραλλαγές:

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Ταυτότητες Αθροίσματος και Διαφοράς Γωνιών

Για δύο γωνίες $\alpha$ και $\beta$ ισχύουν:

Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

Ταυτότητες Διπλασίου Γωνίας

Όταν $\alpha = \beta$ , οι παραπάνω τύποι δίνουν τις ταυτότητες διπλασίου γωνίας:

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Ταυτότητες Ημίσεος Γωνίας

Από τις ταυτότητες διπλασίου γωνίας προκύπτουν:

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία $\frac{\theta}{2}$ .

Ταυτότητες Γινομένου σε Άθροισμα

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$

Ταυτότητες Αθροίσματος σε Γινόμενο

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

Βοηθητικές Γωνίες

Μια έκφραση της μορφής $a\sin\theta + b\cos\theta$ μπορεί να γραφεί ως:

$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \phi)$

όπου $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ και $\tan\phi = \frac{b}{a}$

Εναλλακτικά:

$a\sin\theta + b\cos\theta = R\cos(\theta - \psi)$

όπου $\tan\psi = \frac{a}{b}$

Βασικοί Τύποι

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Απόδειξη ταυτότητας με την Πυθαγόρεια

Αποδείξτε ότι $\frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta$

Χρησιμοποιούμε την Πυθαγόρεια ταυτότητα $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , από την οποία προκύπτει:

$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$

Άρα:

$\frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta$

Η ταυτότητα αποδείχθηκε.

Παράδειγμα 2

Υπολογισμός με τύπους αθροίσματος

Υπολογίστε το $\sin 75°$ χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες αθροίσματος.

Γράφουμε $75° = 45° + 30°$ και εφαρμόζουμε τον τύπο αθροίσματος:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Παράδειγμα 3

Εφαρμογή ταυτότητας διπλασίου γωνίας

Αν $\cos\theta = \frac{3}{5}$ και $0° < \theta < 90°$ , βρείτε τα $\sin 2\theta$ και $\cos 2\theta$ .

Βήμα 1: Βρίσκουμε το $\sin\theta$ από την Πυθαγόρεια ταυτότητα:

$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(θετικό γιατί $\theta$ στο 1ο τεταρτημόριο)

Βήμα 2: Υπολογίζουμε $\sin 2\theta$ :

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

Βήμα 3: Υπολογίζουμε $\cos 2\theta$ :

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

Παράδειγμα 4

Μετατροπή αθροίσματος σε γινόμενο

Απλοποιήστε την έκφραση $\sin 50° + \sin 10°$ .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

Με $\alpha = 50°$ και $\beta = 10°$ :

$\sin 50° + \sin 10° = 2\sin\frac{50° + 10°}{2}\cos\frac{50° - 10°}{2}$

$= 2\sin 30°\cos 20° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20° = \cos 20°$

Παράδειγμα 5

Βοηθητική γωνία

Γράψτε την έκφραση $3\sin\theta + 4\cos\theta$ στη μορφή $R\sin(\theta + \phi)$ .

Βήμα 1: Υπολογίζουμε το $R$ :

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Βήμα 2: Υπολογίζουμε τη γωνία $\phi$ :

$\tan\phi = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$

$\phi = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13°$

Άρα:

$3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.13°)$

Σχετικά Θέματα

basic-trigonometric-functions trigonometric-graphs trigonometry-applications