📈

Πίνακες & Διαγράμματα

Από τον πίνακα τιμών στα σημεία και στην ευθεία — ανάλογα ποσά στη φυσική

Γιατί η εφαρμογή καιρού δεν σου δείχνει απλώς μια λίστα αριθμών;

Άνοιξε μια εφαρμογή καιρού: οι θερμοκρασίες της εβδομάδας εμφανίζονται ως καμπύλη, όχι ως στήλη από νούμερα. Με μια ματιά βλέπεις πότε ζεσταίνει και πότε κρυώνει. Αυτή είναι η δύναμη του διαγράμματος. Εδώ μαθαίνεις να το φτιάχνεις σωστά και να το «διαβάζεις» σαν επιστήμονας.

Από τις μετρήσεις στην εικόνα

Όταν κάνουμε ένα πείραμα, μαζεύουμε ζευγάρια τιμών — π.χ. κρεμάμε διαφορετικές μάζες σε ένα ελατήριο και μετράμε κάθε φορά την επιμήκυνσή του. Τα γράφουμε σε έναν πίνακα τιμών:

$m = 100 \; \text{g} \to$ επιμήκυνση $2 \; \text{cm}$
$m = 200 \; \text{g} \to$ επιμήκυνση $4 \; \text{cm}$
$m = 300 \; \text{g} \to$ επιμήκυνση $6 \; \text{cm}$

Ο πίνακας όμως είναι «στεγνός». Για να δούμε τη σχέση των δύο μεγεθών με μια ματιά, φτιάχνουμε διάγραμμα: μια εικόνα όπου κάθε ζευγάρι τιμών γίνεται ένα σημείο.

Πώς κατασκευάζουμε ένα διάγραμμα

Βήμα 1 — Άξονες: Σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες. Στον οριζόντιο βάζουμε το μέγεθος που εμείς αλλάζουμε (εδώ τη μάζα $m$ ), στον κατακόρυφο αυτό που μετράμε (την επιμήκυνση). Γράφουμε όνομα και μονάδα σε κάθε άξονα.

Βήμα 2 — Κλίμακα: Χωρίζουμε κάθε άξονα σε ίσα διαστήματα που βολεύουν τις τιμές μας (π.χ. κάθε τετραγωνάκι = 100 g).

Βήμα 3 — Σημεία: Για κάθε γραμμή του πίνακα σημειώνουμε ένα σημείο: πάμε στο $m$ στον οριζόντιο άξονα, ανεβαίνουμε μέχρι την αντίστοιχη επιμήκυνση.

Βήμα 4 — Γραμμή: Ενώνουμε τα σημεία με μια ομαλή γραμμή. Αν τα σημεία «δείχνουν» ευθεία, χαράζουμε μία ευθεία που περνά όσο πιο κοντά γίνεται απ' όλα — δεν τα ενώνουμε ζιγκ-ζαγκ! Έτσι τα μικρά σφάλματα των μετρήσεων «εξομαλύνονται», όπως με τη μέση τιμή.

Ήξερες ότι;

Τα διαγράμματα που σου φαίνονται αυτονόητα είναι σχετικά νέα εφεύρεση. Το 1786 ο Σκωτσέζος Ουίλιαμ Πλέιφερ δημοσίευσε ένα βιβλίο για το εμπόριο της Αγγλίας με τα πρώτα διαγράμματα γραμμής και ράβδων. Πριν από αυτόν, τέτοια δεδομένα δίνονταν σχεδόν μόνο σε πίνακες.

Διαλέγοντας κλίμακα

Η κλίμακα πρέπει να κάνει το διάγραμμα να γεμίζει το χαρτί, αλλά να μένει εύκολη στην ανάγνωση:

Βρες τη μεγαλύτερη τιμή που θα μπει στον άξονα.
Μέτρα πόσα τετραγωνάκια έχεις διαθέσιμα.
Διαίρεσε και στρογγύλεψε προς τα πάνω σε «βολικό» αριθμό (1, 2, 5, 10, 20, 50, 100…).

Π.χ. τιμές έως $600 \; \text{g}$ σε $12$ τετραγωνάκια: $\frac{600}{12} = 50 \; \text{g}$ ανά τετραγωνάκι. Αν έβγαινε $43$ , θα διαλέγαμε $50$ — ποτέ «περίεργους» αριθμούς όπως $43$ ή $7$ .

Και οι δύο άξονες δεν χρειάζεται να έχουν την ίδια κλίμακα — ο καθένας έχει τη δική του μονάδα. Κάθε άξονας όμως ξεκινά από το μηδέν και έχει ίσα διαστήματα σε όλο του το μήκος.

Κόλπο μνήμης

«Ό,τι αλλάζω εγώ πάει κάτω, ό,τι μετράω ανεβαίνει πάνω». Το μέγεθος που διαλέγεις εσύ (π.χ. τη μάζα που κρεμάς) μπαίνει στον οριζόντιο άξονα. Το αποτέλεσμα που μετράς (π.χ. την επιμήκυνση) μπαίνει στον κατακόρυφο.

Γρήγορος έλεγχος

Θέλεις να βάλεις στον οριζόντιο άξονα μάζες έως 600 g και έχεις 12 τετραγωνάκια. Πόσα γραμμάρια πρέπει να αντιστοιχούν σε κάθε τετραγωνάκι;

Άλλαξε την τιμή του ενός μεγέθους και δες το σημείο να γλιστρά πάνω σε μια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων: έτσι «φαίνονται» τα ανάλογα ποσά στο διάγραμμα — διπλάσια μάζα, διπλάσια επιμήκυνση, σταθερό πηλίκο.

Τι μας λέει το διάγραμμα — ανάλογα ποσά

Στο πείραμα του ελατηρίου το πηλίκο των τιμών είναι σταθερό:

$\frac{2}{100} = \frac{4}{200} = \frac{6}{300} = 0{,}02 \; \text{cm/g}$

Όταν συμβαίνει αυτό, τα δύο μεγέθη είναι ανάλογα ποσά: όταν το ένα διπλασιάζεται, διπλασιάζεται και το άλλο. Στο διάγραμμα, τα ανάλογα ποσά δίνουν πάντα ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων $(0, 0)$ — λογικό: με μηδέν μάζα, μηδέν επιμήκυνση.

Το ίδιο ισχύει για μάζα και βάρος: όσα περισσότερα πανομοιότυπα αντικείμενα κρεμάσουμε, τόσο μεγαλύτερη η έλξη της Γης — ανάλογα ποσά, ευθεία από την αρχή.

Και το πιο δυνατό «εργαλείο»: από την ευθεία διαβάζουμε και τιμές που δεν μετρήσαμε ποτέ — βρίσκουμε το σημείο της ευθείας και διαβάζουμε τους άξονες.

$\text{Ανάλογα ποσά: } \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \text{σταθερό} \qquad \text{διάγραμμα: ευθεία από το } (0, 0)$

Μέθοδος: είναι τα ποσά ανάλογα; — ανάγνωση τιμών

Για κάθε γραμμή του πίνακα υπολόγισε το πηλίκο $\frac{y}{x}$ .
Αν όλα τα πηλίκα είναι ίσα (μέσα στα σφάλματα μέτρησης), τα ποσά είναι ανάλογα και το διάγραμμα είναι ευθεία από την αρχή $(0, 0)$ .
Αν η γραμμή είναι ευθεία αλλά δεν περνά από την αρχή, τα ποσά δεν είναι ανάλογα.
Για άγνωστη τιμή του $y$ : $y = \text{πηλίκο} \cdot x$ . Για άγνωστη τιμή του $x$ : $x = \frac{y}{\text{πηλίκο}}$ .
Ή γραφικά: από την τιμή στον έναν άξονα προχωράς παράλληλα προς τον άλλον μέχρι να συναντήσεις την ευθεία, και από εκείνο το σημείο διαβάζεις την τιμή στον δεύτερο άξονα.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Από τον πίνακα του ελατηρίου (100 g → 2 cm, 200 g → 4 cm, 300 g → 6 cm):

(α) Είναι τα ποσά ανάλογα; Ελέγχουμε τα πηλίκα: $\frac{2}{100} = \frac{4}{200} = \frac{6}{300} = 0{,}02$ — σταθερό, άρα ναι, και το διάγραμμα είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων.

(β) Πόση επιμήκυνση περιμένουμε για $m = 250 \; \text{g}$ ; Από την αναλογία: $250 \cdot 0{,}02 = 5 \; \text{cm}$ — το διαβάζουμε και πάνω στην ευθεία, ανάμεσα στα σημεία των 200 g και 300 g.

(γ) Ποια μάζα προκαλεί επιμήκυνση $3 \; \text{cm}$ ; Αντίστροφα: $m = \frac{3}{0{,}02} = 150 \; \text{g}$ .

Παράδειγμα — το διάγραμμα μάζας–όγκου του λαδιού: Ρίχνουμε λάδι σε ογκομετρικό κύλινδρο και ζυγίζουμε κάθε φορά μόνο το λάδι: $50 \; \text{cm}^3 \to 45 \; \text{g}$ , $100 \; \text{cm}^3 \to 90 \; \text{g}$ , $150 \; \text{cm}^3 \to 135 \; \text{g}$ .

(α) Πηλίκα: $\frac{45}{50} = \frac{90}{100} = \frac{135}{150} = 0{,}9 \; \text{g/cm}^3$ — σταθερό, άρα μάζα και όγκος είναι ανάλογα ποσά. Το σταθερό πηλίκο δεν είναι άλλο από την πυκνότητα του λαδιού!

(β) Μάζα $120 \; \text{cm}^3$ λαδιού: $m = 0{,}9 \cdot 120 = 108 \; \text{g}$ .

(γ) Όγκος που έχουν $72 \; \text{g}$ λαδιού: $V = \frac{72}{0{,}9} = 80 \; \text{cm}^3$ .

Παράδειγμα — ευθεία, αλλά όχι ανάλογα ποσά: Ζεσταίνουμε νερό και μετράμε τη θερμοκρασία κάθε λεπτό: $0 \; \text{min} \to 20 \; ^\circ\text{C}$ , $1 \; \text{min} \to 30 \; ^\circ\text{C}$ , $2 \; \text{min} \to 40 \; ^\circ\text{C}$ , $3 \; \text{min} \to 50 \; ^\circ\text{C}$ .

(α) Τα σημεία πέφτουν σε ευθεία: σε κάθε λεπτό η θερμοκρασία ανεβαίνει κατά $10 \; ^\circ\text{C}$ .

(β) Είναι ανάλογα ποσά; Πηλίκα: $\frac{30}{1} = 30$ , $\frac{40}{2} = 20$ — όχι ίσα. Η ευθεία ξεκινά από τους $20 \; ^\circ\text{C}$ και όχι από το $(0, 0)$ , άρα δεν είναι ανάλογα. Λογικό: στον χρόνο μηδέν το νερό δεν είχε $0 \; ^\circ\text{C}$ !

(γ) Θερμοκρασία στο $1{,}5 \; \text{min}$ : στη μέση ανάμεσα σε $30$ και $40$ , δηλαδή $35 \; ^\circ\text{C}$ .

(δ) Αν ο ρυθμός μείνει ίδιος, πότε φτάνει τους $70 \; ^\circ\text{C}$ ; Χρειάζεται $70 - 20 = 50 \; ^\circ\text{C}$ άνοδο, με $10 \; ^\circ\text{C}$ το λεπτό: $5 \; \text{min}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα διάγραμμα επιμήκυνσης–μάζας τα σημεία σχηματίζουν ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Στα 100 g η επιμήκυνση είναι 2 cm. Πόση είναι στα 150 g;

Γρήγορος έλεγχος

Ένας πίνακας τιμών δίνει: x = 1 → y = 3, x = 2 → y = 6, x = 3 → y = 10. Είναι τα ποσά x και y ανάλογα;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα διάγραμμα θερμοκρασίας–χρόνου τα σημεία σχηματίζουν ευθεία που ανεβαίνει, αλλά ξεκινά από τους 20 °C στον χρόνο μηδέν. Είναι η θερμοκρασία ανάλογη του χρόνου;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο μέγεθος βάζουμε συνήθως στον οριζόντιο άξονα ενός διαγράμματος;

Πρόκληση

ποιο ελατήριο είναι πιο «μαλακό» Δύο ελατήρια δίνουν ευθείες που περνούν από την αρχή των αξόνων. Το ελατήριο Α επιμηκύνεται $6 \; \text{cm}$ με $150 \; \text{g}$ . Το ελατήριο Β επιμηκύνεται $4 \; \text{cm}$ με $200 \; \text{g}$ . (α) Ποιο είναι πιο μαλακό; (β) Σε κοινό διάγραμμα (μάζα οριζόντια, επιμήκυνση κατακόρυφα), ποια ευθεία είναι πιο απότομη; (γ) Ένα άγνωστο αντικείμενο τεντώνει το Α κατά $9 \; \text{cm}$ . Πόση είναι η μάζα του; (δ) Πόσο θα τεντώσει το ίδιο αντικείμενο το Β;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα, βρίσκουμε το σταθερό πηλίκο επιμήκυνση/μάζα:

Α: $\frac{6}{150} = 0{,}04 \; \text{cm}$ ανά γραμμάριο.
Β: $\frac{4}{200} = 0{,}02 \; \text{cm}$ ανά γραμμάριο.

(α) Το Α τεντώνεται διπλάσια για κάθε γραμμάριο, άρα είναι το πιο μαλακό.

(β) Η ευθεία του Α: για την ίδια μάζα ανεβαίνει ψηλότερα.

(γ) $m = \frac{9}{0{,}04} = 225 \; \text{g}$ . (Έλεγχος: $9 \; \text{cm}$ είναι $1{,}5$ φορές τα $6 \; \text{cm}$ , άρα και η μάζα είναι $1{,}5 \cdot 150 = 225 \; \text{g}$ ✔)

(δ) $225 \cdot 0{,}02 = 4{,}5 \; \text{cm}$ .

Απάντηση: μαλακότερο το Α (πιο απότομη ευθεία)· $m = 225 \; \text{g}$ · στο Β επιμήκυνση $4{,}5 \; \text{cm}$ .

Στο διαγώνισμα, ένα διάγραμμα «μαζεύει» βαθμούς με τέσσερα πράγματα: ονόματα και μονάδες στους άξονες, σωστή κλίμακα με ίσα διαστήματα, καθαρά σημεία, και μία ομαλή γραμμή — όχι σπασμένη τεθλασμένη από σημείο σε σημείο. Και πριν γράψεις «ανάλογα ποσά», απόδειξέ το: υπολόγισε τα πηλίκα και δείξε ότι βγαίνουν ίδια.

Συνηθισμένα λάθη

Άξονες χωρίς όνομα ή μονάδα. Διόρθωση: σε κάθε άξονα γράφε π.χ. « $m \; (\text{g})$ » και «επιμήκυνση $(\text{cm})$ ».
Άνισα διαστήματα στην κλίμακα (π.χ. 0, 100, 150, 300 σε ίσες αποστάσεις). Διόρθωση: κάθε τετραγωνάκι αντιστοιχεί στην ίδια ποσότητα.
Ζιγκ-ζαγκ γραμμή που ενώνει τα σημεία ένα-ένα. Διόρθωση: χάραξε μία ομαλή γραμμή που περνά όσο πιο κοντά γίνεται απ' όλα.
«Κάθε ευθεία = ανάλογα ποσά». Διόρθωση: αναλογία σημαίνει ευθεία από την αρχή των αξόνων και σταθερό πηλίκο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πίνακας τιμών → σημεία → μία ομαλή γραμμή. Οριζόντια το μέγεθος που αλλάζουμε, κατακόρυφα αυτό που μετράμε.
Κάθε άξονας: όνομα, μονάδα, κλίμακα με ίσα διαστήματα, ξεκινώντας από το μηδέν.
Ανάλογα ποσά: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \text{σταθερό}$ ⇔ ευθεία από το $(0, 0)$ .
Ευθεία που δεν περνά από την αρχή → όχι ανάλογα ποσά.
Από το διάγραμμα διαβάζουμε και τιμές που δεν μετρήσαμε: $y = \text{πηλίκο} \cdot x$ , $x = \frac{y}{\text{πηλίκο}}$ .

Από τις μετρήσεις στην εικόνα

m = 100 \; \text{g} \to

επιμήκυνση

2 \; \text{cm}

m = 200 \; \text{g} \to

επιμήκυνση

4 \; \text{cm}

m = 300 \; \text{g} \to

επιμήκυνση

6 \; \text{cm}