Καταστατική Εξίσωση Ιδανικών Αερίων

Εισαγωγή στην Καταστατική Εξίσωση

Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων συνδέει τα τρία βασικά μακροσκοπικά μεγέθη ενός αερίου: την πίεση, τον όγκο και τη θερμοκρασία. Αποτελεί θεμελιώδη σχέση της θερμοδυναμικής.

Ιδανικό Αέριο

Ένα ιδανικό αέριο είναι ένα θεωρητικό μοντέλο που θεωρεί ότι:

• Τα μόρια του αερίου είναι σημειακά (αμελητέου όγκου)
• Δεν υπάρχουν δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των μορίων
• Οι συγκρούσεις μεταξύ μορίων είναι τέλεια ελαστικές

Τα πραγματικά αέρια προσεγγίζουν τη συμπεριφορά ιδανικού αερίου σε χαμηλές πιέσεις και υψηλές θερμοκρασίες.

Καταστατική Εξίσωση Ιδανικών Αερίων

$$PV = nRT$$

όπου:

• $P$ η πίεση (Pa)
• $V$ ο όγκος ($m^3$)
• $n$ η ποσότητα ύλης (mol)
• $R = 8,314 \text{ J/(mol·K)}$ η παγκόσμια σταθερά των αερίων
• $T$ η απόλυτη θερμοκρασία (K)

Εναλλακτική μορφή:

$$PV = NkT$$

όπου:

• $N$ ο αριθμός μορίων
• $k = 1,38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$ η σταθερά Boltzmann

Σχέση: $R = N_A \cdot k$ όπου $N_A = 6,022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ ο αριθμός Avogadro.

Νόμοι Ιδανικών Αερίων

Νόμος Boyle-Mariotte (Ισόθερμη Μεταβολή)

Σε σταθερή θερμοκρασία ($T = \text{σταθ.}$):

$$PV = \text{σταθ.}$$

ή

$$P_1 V_1 = P_2 V_2$$

Νόμος Charles (Ισοβαρής Μεταβολή)

Σε σταθερή πίεση ($P = \text{σταθ.}$):

$$\frac{V}{T} = \text{σταθ.}$$

ή

$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$

Νόμος Gay-Lussac (Ισόχωρη Μεταβολή)

Σε σταθερό όγκο ($V = \text{σταθ.}$):

$$\frac{P}{T} = \text{σταθ.}$$

ή

$$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$$

Γενικευμένη Σχέση

Για ορισμένη ποσότητα αερίου που μεταβαίνει από κατάσταση $(P_1, V_1, T_1)$ σε $(P_2, V_2, T_2)$:

$$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$

Πυκνότητα Ιδανικού Αερίου

Από τη σχέση $n = \frac{m}{M}$ όπου $M$ η μοριακή μάζα:

$$PV = \frac{m}{M}RT$$

Άρα η πυκνότητα $\rho = \frac{m}{V}$:

$$\rho = \frac{PM}{RT}$$

Μερικές Πιέσεις (Νόμος Dalton)

Σε μίγμα ιδανικών αερίων, η συνολική πίεση ισούται με το άθροισμα των μερικών πιέσεων:

$$P_{\text{ολ}} = P_1 + P_2 + P_3 + ...$$

Η μερική πίεση κάθε αερίου είναι η πίεση που θα ασκούσε αν κατελάμβανε μόνο του ολόκληρο τον όγκο:

$$P_i = \frac{n_i RT}{V}$$

Κινητική Θεωρία Ιδανικών Αερίων

Η πίεση ενός ιδανικού αερίου οφείλεται στις συγκρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου:

$$P = \frac{1}{3}\rho \bar{v}^2 = \frac{1}{3} \frac{Nm\bar{v}^2}{V}$$

όπου $\bar{v}^2$ η μέση τετραγωνική ταχύτητα.

Μέση τετραγωνική ταχύτητα:

$$\bar{v}_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$