Κατανομές Πιθανότητας

Εισαγωγή στις Κατανομές Πιθανότητας

Μια κατανομή πιθανότητας περιγράφει πώς κατανέμονται οι πιθανότητες στις διάφορες τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής. Οι κατανομές είναι θεμελιώδεις στη στατιστική και την επιστήμη δεδομένων.

Τυχαίες Μεταβλητές

Μια τυχαία μεταβλητή $X$ είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε αποτέλεσμα του δειγματικού χώρου $\Omega$ σε έναν πραγματικό αριθμό.

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές

Παίρνουν τιμές από πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο (π.χ. ακέραιοι).

Παράδειγμα: $X$ = αριθμός που δείχνει το ζάρι, $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές

Παίρνουν τιμές από κάποιο διάστημα πραγματικών αριθμών.

Παράδειγμα: $X$ = ύψος τυχαίου ατόμου, $X \in (0, +\infty)$

Συνάρτηση Πιθανότητας (PMF)

Για διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$, η συνάρτηση πιθανότητας (probability mass function) ορίζεται:

$$P(X = x) = p(x)$$

Ιδιότητες:

1. $p(x) \geq 0$ για κάθε $x$
2. $\sum_{x} p(x) = 1$

Αναμενόμενη Τιμή (Expected Value)

Η αναμενόμενη τιμή ή μέση τιμή της $X$:

$$E(X) = \mu = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$$

Ιδιότητες Αναμενόμενης Τιμής

1. $E(c) = c$ για σταθερά $c$
2. $E(cX) = c \cdot E(X)$
3. $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
4. $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

Διακύμανση (Variance)

Η διακύμανση μετράει τη διασπορά των τιμών γύρω από τη μέση τιμή:

$$Var(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Η τυπική απόκλιση είναι $\sigma = \sqrt{Var(X)}$

Ιδιότητες Διακύμανσης

1. $Var(c) = 0$
2. $Var(cX) = c^2 \cdot Var(X)$
3. $Var(X + c) = Var(X)$
4. $Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$

Διωνυμική Κατανομή (Binomial Distribution)

Η διωνυμική κατανομή περιγράφει τον αριθμό επιτυχιών σε $n$ ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli, όπου κάθε δοκιμή έχει πιθανότητα επιτυχίας $p$.

$$X \sim B(n, p)$$

Συνάρτηση Πιθανότητας

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n$$

Παράμετροι

• Αναμενόμενη τιμή: $E(X) = np$
• Διακύμανση: $Var(X) = np(1-p)$
• Τυπική απόκλιση: $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Παράδειγμα 1: Ρίψεις Νομίσματος

Ρίχνουμε ένα νόμισμα 10 φορές. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 6 κορώνες;

Λύση:

• $n = 10$, $p = 0.5$, $k = 6$
• $P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 = 210 \cdot (0.5)^{10}$
• $P(X = 6) = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} \approx 0.205$

Παράδειγμα 2: Ποιοτικός Έλεγχος

Σε παρτίδα προϊόντων, το 5% είναι ελαττωματικά. Επιλέγουμε τυχαία 20 προϊόντα. Ποια η πιθανότητα να βρούμε το πολύ 2 ελαττωματικά;

Λύση:

• $n = 20$, $p = 0.05$
• $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
• $P(X=0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = (0.95)^{20} \approx 0.358$
• $P(X=1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot (0.95)^{19} \approx 0.377$
• $P(X=2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot (0.95)^{18} \approx 0.189$
• $P(X \leq 2) \approx 0.358 + 0.377 + 0.189 = 0.924$

Κανονική Κατανομή (Normal Distribution)

Η κανονική ή γκαουσιανή κατανομή είναι η πιο σημαντική συνεχής κατανομή. Έχει χαρακτηριστική μορφή "καμπάνας".

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF)

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Παράμετροι

• $\mu$: μέση τιμή (κέντρο της καμπάνας)
• $\sigma$: τυπική απόκλιση (πλάτος της καμπάνας)
• $\sigma^2$: διακύμανση

Τυπική Κανονική Κατανομή

Η τυπική κανονική κατανομή έχει $\mu = 0$ και $\sigma = 1$:

$$Z \sim N(0, 1)$$

Μετατροπή οποιασδήποτε κανονικής σε τυπική:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Κανόνας 68-95-99.7 (Εμπειρικός Κανόνας)

Για κανονική κατανομή:

• 68% των τιμών βρίσκεται εντός $\mu \pm \sigma$
• 95% των τιμών βρίσκεται εντός $\mu \pm 2\sigma$
• 99.7% των τιμών βρίσκεται εντός $\mu \pm 3\sigma$

Παράδειγμα 3: Βαθμολογίες

Οι βαθμοί σε ένα διαγώνισμα ακολουθούν κανονική κατανομή με $\mu = 70$ και $\sigma = 10$. Ποιο ποσοστό μαθητών πέτυχε βαθμό πάνω από 80;

Λύση:

• Τυποποιούμε: $Z = \frac{80 - 70}{10} = 1$
• $P(X > 80) = P(Z > 1)$
• Από πίνακες ή υπολογιστή: $P(Z > 1) \approx 0.1587 = 15.87\%$

Παράδειγμα 4: Ύψος Πληθυσμού

Το ύψος ενηλίκων ανδρών ακολουθεί $N(175, 49)$ (σε cm, $\sigma = 7$). Ποια η πιθανότητα ένας τυχαίος άνδρας να έχει ύψος μεταξύ 168 και 182 cm;

Λύση:

• $Z_1 = \frac{168 - 175}{7} = -1$
• $Z_2 = \frac{182 - 175}{7} = 1$
• $P(168 < X < 182) = P(-1 < Z < 1) \approx 0.6826 = 68.26\%$

(Αυτό είναι το 68% του εμπειρικού κανόνα!)

Προσέγγιση Διωνυμικής με Κανονική

Όταν $n$ είναι μεγάλο και $p$ δεν είναι πολύ κοντά στο 0 ή 1 (κανόνας: $np \geq 5$ και $n(1-p) \geq 5$), η διωνυμική προσεγγίζεται από κανονική:

$$B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$$

Παράδειγμα 5: Προσέγγιση

Ρίχνουμε ένα νόμισμα 100 φορές. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 45-55 κορώνες;

Λύση:

• $X \sim B(100, 0.5)$, άρα $\mu = 50$, $\sigma = \sqrt{25} = 5$
• Χρησιμοποιούμε διόρθωση συνέχειας: $P(44.5 < X < 55.5)$
• $Z_1 = \frac{44.5 - 50}{5} = -1.1$, $Z_2 = \frac{55.5 - 50}{5} = 1.1$
• $P(-1.1 < Z < 1.1) \approx 0.729 = 72.9\%$

Άλλες Σημαντικές Κατανομές

Κατανομή Poisson

Για σπάνια γεγονότα σε διάστημα χρόνου/χώρου με μέσο ρυθμό $\lambda$:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

$E(X) = Var(X) = \lambda$

Γεωμετρική Κατανομή

Αριθμός δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία:

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$$

$E(X) = \frac{1}{p}$

Παράδειγμα 6: Poisson

Ένα τηλεφωνικό κέντρο δέχεται κατά μέσο όρο 4 κλήσεις ανά λεπτό. Ποια η πιθανότητα σε ένα λεπτό να δεχθεί ακριβώς 6 κλήσεις;

Λύση:

• $\lambda = 4$, $k = 6$
• $P(X = 6) = \frac{4^6 e^{-4}}{6!} = \frac{4096 \cdot e^{-4}}{720} \approx \frac{4096 \cdot 0.0183}{720} \approx 0.104$