Εξίσωση Φακού

Εισαγωγή στην Εξίσωση Φακού

Η εξίσωση φακού (ή εξίσωση λεπτού φακού) είναι η θεμελιώδης σχέση που συνδέει την εστιακή απόσταση ενός φακού με τις αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία της γεωμετρικής οπτικής.

Η Εξίσωση Λεπτού Φακού

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

όπου:

• $f$: η εστιακή απόσταση του φακού
• $d_o$: η απόσταση του αντικειμένου από τον φακό
• $d_i$: η απόσταση του ειδώλου από τον φακό

Ισοδύναμες Μορφές

Η εξίσωση μπορεί να γραφεί με διάφορους ισοδύναμους τρόπους:

$$d_i = \frac{f \cdot d_o}{d_o - f}$$

$$d_o = \frac{f \cdot d_i}{d_i - f}$$

$$f = \frac{d_o \cdot d_i}{d_o + d_i}$$

Σύμβαση Προσήμων

Για τη σωστή εφαρμογή της εξίσωσης, ακολουθούμε αυστηρές συμβάσεις προσήμων:

Εστιακή Απόσταση ($f$)

• $f > 0$: Συγκλίνων φακός
• $f < 0$: Αποκλίνων φακός

Απόσταση Αντικειμένου ($d_o$)

• $d_o > 0$: Πραγματικό αντικείμενο (μπροστά από τον φακό)
• $d_o < 0$: Εικονικό αντικείμενο (σπάνια περίπτωση σε σύνθετα συστήματα)

Απόσταση Ειδώλου ($d_i$)

• $d_i > 0$: Πραγματικό είδωλο (πίσω από τον φακό, στην αντίθετη πλευρά από το αντικείμενο)
• $d_i < 0$: Εικονικό είδωλο (μπροστά από τον φακό, στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο)

Μεγέθυνση

Η εγκάρσια μεγέθυνση $m$ ορίζεται ως:

$$m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$$

όπου $h_i$ και $h_o$ είναι τα ύψη του ειδώλου και του αντικειμένου αντίστοιχα.

Ερμηνεία μεγέθυνσης:

• $|m| > 1$: Μεγεθυμένο είδωλο
• $|m| < 1$: Σμικρυμένο είδωλο
• $|m| = 1$: Ίσου μεγέθους είδωλο
• $m > 0$: Όρθιο είδωλο
• $m < 0$: Ανεστραμμένο είδωλο

Ειδικές Περιπτώσεις

Αντικείμενο στο Άπειρο ($d_o \to \infty$)

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} \Rightarrow d_i = f$$

Το είδωλο σχηματίζεται στην εστία.

Αντικείμενο στην Εστία ($d_o = f$)

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0 \Rightarrow d_i \to \infty$$

Το είδωλο σχηματίζεται στο άπειρο.

Αντικείμενο σε Διπλάσια της Εστιακής ($d_o = 2f$)

$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2f} = \frac{1}{2f} \Rightarrow d_i = 2f$$

Το είδωλο έχει ίσο μέγεθος με το αντικείμενο ($m = -1$).

Σύστημα Δύο Φακών

Όταν έχουμε δύο φακούς σε απόσταση $d$ μεταξύ τους:

1. Υπολογίζουμε το είδωλο του πρώτου φακού
2. Αυτό το είδωλο γίνεται αντικείμενο για τον δεύτερο φακό
3. Η απόσταση του νέου αντικειμένου από τον δεύτερο φακό είναι $d - d_{i1}$

Η συνολική μεγέθυνση είναι:

$$m_{ολ} = m_1 \cdot m_2$$

Εξίσωση Κατασκευαστή Φακών

Η εστιακή απόσταση εξαρτάται από τη γεωμετρία και το υλικό του φακού:

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$$

όπου:

• $n$: ο δείκτης διάθλασης του υλικού
• $R_1, R_2$: οι ακτίνες καμπυλότητας των δύο επιφανειών

Σύγκριση με Εξίσωση Κατόπτρων

Η εξίσωση φακού έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση κατόπτρων:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$

Η διαφορά βρίσκεται στις συμβάσεις προσήμων και στο ότι στους φακούς το φως περνά διαμέσου, ενώ στα κάτοπτρα ανακλάται.