Νόμος του Snell

Εισαγωγή στον Νόμο του Snell

Ο νόμος του Snell (ή νόμος Snell-Descartes) είναι ο θεμελιώδης νόμος που περιγράφει τη σχέση μεταξύ των γωνιών πρόσπτωσης και διάθλασης όταν το φως περνά από ένα διαφανές μέσο σε άλλο. Διατυπώθηκε από τον Ολλανδό μαθηματικό Willebrord Snell το 1621.

Μαθηματική Διατύπωση

Όταν μια ακτίνα φωτός περνά από ένα μέσο με δείκτη διάθλασης $n_1$ σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης $n_2$, ισχύει:

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$

όπου:

• $\theta_1$: η γωνία πρόσπτωσης (μεταξύ προσπίπτουσας ακτίνας και κάθετης)
• $\theta_2$: η γωνία διάθλασης (μεταξύ διαθλώμενης ακτίνας και κάθετης)
• $n_1, n_2$: οι δείκτες διάθλασης των δύο μέσων

Ισοδύναμες Μορφές

Ο νόμος του Snell μπορεί να γραφεί με διάφορους ισοδύναμους τρόπους:

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

όπου $v_1, v_2$ είναι οι ταχύτητες και $\lambda_1, \lambda_2$ τα μήκη κύματος στα δύο μέσα.

Ανάλυση Περιπτώσεων

Περίπτωση 1: $n_1 < n_2$ (π.χ. αέρας → γυαλί)

Το φως περνά σε οπτικά πυκνότερο μέσο:

• $\theta_2 < \theta_1$ (η ακτίνα κάμπτεται προς την κάθετο)
• Η ταχύτητα μειώνεται
• Το μήκος κύματος μειώνεται

Περίπτωση 2: $n_1 > n_2$ (π.χ. γυαλί → αέρας)

Το φως περνά σε οπτικά αραιότερο μέσο:

• $\theta_2 > \theta_1$ (η ακτίνα κάμπτεται μακριά από την κάθετο)
• Η ταχύτητα αυξάνεται
• Το μήκος κύματος αυξάνεται
• Πιθανή ολική εσωτερική ανάκλαση αν $\theta_1 > \theta_c$

Περίπτωση 3: $\theta_1 = 0°$ (κάθετη πρόσπτωση)

• $\theta_2 = 0°$ (χωρίς κάμψη)
• Η ακτίνα συνεχίζει ευθεία

Κρίσιμη Γωνία

Όταν το φως περνά από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο ($n_1 > n_2$), υπάρχει μια γωνία πρόσπτωσης για την οποία η γωνία διάθλασης γίνεται $90°$. Αυτή ονομάζεται κρίσιμη γωνία $\theta_c$:

$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

Αν $\theta_1 > \theta_c$, συμβαίνει ολική εσωτερική ανάκλαση.

Εφαρμογή σε Πρίσμα

Όταν φως περνά μέσα από πρίσμα με γωνία κορυφής $A$, η γωνία απόκλισης $\delta$ δίνεται από:

$$n = \frac{\sin\left(\frac{A + \delta_{\min}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$$

όπου $\delta_{\min}$ είναι η ελάχιστη γωνία απόκλισης.

Φυσική Ερμηνεία

Ο νόμος του Snell εκφράζει τη διατήρηση της εγκάρσιας συνιστώσας του κυματανύσματος κατά τη διάθλαση. Μπορεί να προκύψει από την αρχή του Fermat (ελάχιστου χρόνου) ή από την αρχή του Huygens.

Πολλαπλά Στρώματα

Όταν το φως περνά διαδοχικά από πολλά μέσα με δείκτες $n_1, n_2, n_3, ...$, το γινόμενο $n \sin\theta$ παραμένει σταθερό:

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 = n_3 \sin\theta_3 = \text{σταθερό}$$