Σχέση de Broglie

Εισαγωγή στη Σχέση de Broglie

Το 1924, ο γάλλος φυσικός Louis de Broglie διατύπωσε μια τολμηρή υπόθεση: αν το φως, που θεωρούνταν κύμα, μπορεί να συμπεριφέρεται ως σωματίδιο (φωτόνιο), τότε και η ύλη, που θεωρούνταν σωματιδιακή, θα πρέπει να εμφανίζει κυματική συμπεριφορά. Για αυτή τη θεωρία έλαβε το βραβείο Nobel το 1929.

Η Σχέση de Broglie

Κάθε σωματίδιο με ορμή $p$ συνδέεται με ένα κύμα μήκους κύματος:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

Για σωματίδιο με μάζα $m$ και ταχύτητα $v$:

$$\lambda = \frac{h}{mv}$$

Αυτό ονομάζεται μήκος κύματος de Broglie ή κύμα ύλης.

Σχετικιστική Επέκταση

Για σωματίδια που κινούνται με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός, χρησιμοποιούμε τη σχετικιστική ορμή:

$$p = \gamma m_0 v = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

οπότε:

$$\lambda = \frac{h}{\gamma m_0 v}$$

Σχέση με την Ενέργεια

Για μη σχετικιστικά σωματίδια, η κινητική ενέργεια είναι:

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}$$

Άρα $p = \sqrt{2mK}$ και:

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$$

Για ηλεκτρόνια επιταχυνόμενα από τάση $V$:

$$K = eV$$

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$$

Αριθμητικά:

$$\lambda = \frac{1{,}226}{\sqrt{V}} \text{ nm}$$

όπου $V$ σε Volt.

Πειραματική Επαλήθευση

Πείραμα Davisson-Germer (1927):

• Δέσμη ηλεκτρονίων προσέπιπτε σε κρύσταλλο νικελίου
• Παρατηρήθηκε περίθλαση με τα μέγιστα να πληρούν τη συνθήκη Bragg
• Το μετρημένο μήκος κύματος συμφωνούσε με τη σχέση de Broglie

Πείραμα G.P. Thomson (1928):

• Δέσμη ηλεκτρονίων διαπερνούσε λεπτό φύλλο χρυσού
• Εμφανίστηκαν δακτύλιοι περίθλασης όπως με ακτίνες Χ
• Επιβεβαίωση της κυματικής φύσης των ηλεκτρονίων

Κύματα Ύλης και Τροχιές Bohr

Η υπόθεση de Broglie εξηγεί τον κβαντισμό των τροχιών στο άτομο Bohr:

Για να είναι σταθερή μια τροχιά, η περίμετρός της πρέπει να περιέχει ακέραιο αριθμό μηκών κύματος:

$$2\pi r = n\lambda$$

Αντικαθιστώντας $\lambda = h/mv$:

$$2\pi r = n\frac{h}{mv}$$

$$mvr = n\frac{h}{2\pi} = n\hbar$$

Αυτό είναι ακριβώς η συνθήκη κβαντισμού του Bohr!

Στάσιμα Κύματα στο Άτομο

Τα ηλεκτρόνια σε σταθερές τροχιές μπορούν να θεωρηθούν ως στάσιμα κύματα:

• Σε επιτρεπόμενη τροχιά: στάσιμο κύμα με ακέραιο αριθμό μηκών κύματος
• Σε μη επιτρεπόμενη τροχιά: καταστροφική συμβολή

Αυτή η εικόνα δίνει μια διαισθητική εξήγηση για τον κβαντισμό.

Μεγέθη Μηκών Κύματος de Broglie

Για μακροσκοπικά αντικείμενα, το μήκος κύματος είναι απειροελάχιστο - αμελητέο.

Ηλεκτρονικό Μικροσκόπιο

Η αρχή de Broglie επιτρέπει την κατασκευή μικροσκοπίων με ηλεκτρόνια αντί για φως:

Πλεονεκτήματα:

• Πολύ μικρότερο μήκος κύματος → μεγαλύτερη ανάλυση
• Ηλεκτρόνια 100 keV: $\lambda \approx 0{,}004 \text{ nm}$ (πολύ μικρότερο από ορατό φως $\sim 500 \text{ nm}$)

Διακριτική ικανότητα:

$$d_{min} \approx \lambda$$

Το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο μπορεί να "δει" άτομα!

Συχνότητα de Broglie

Όπως το φως, τα κύματα ύλης έχουν και συχνότητα:

$$f = \frac{E}{h}$$

όπου $E$ η ολική ενέργεια του σωματιδίου.

Η ταχύτητα φάσης του κύματος de Broglie είναι:

$$v_{ph} = f\lambda = \frac{E}{p} = \frac{c^2}{v}$$

Για $v < c$, έχουμε $v_{ph} > c$! Αυτό δεν παραβιάζει τη σχετικότητα γιατί δεν μεταφέρεται πληροφορία με ταχύτητα φάσης.

Η ταχύτητα ομάδας (με την οποία κινείται η ενέργεια) είναι ίση με την ταχύτητα του σωματιδίου:

$$v_g = v$$