Πρότυπο Bohr

Εισαγωγή στο Πρότυπο Bohr

Το πρότυπο Bohr (1913) αποτελεί ένα ημικλασικό μοντέλο του ατόμου που εισήγαγε την έννοια του κβαντισμού στις ατομικές τροχιές. Ο Niels Bohr συνδύασε την κλασική μηχανική με την κβαντική υπόθεση του Planck για να εξηγήσει τη σταθερότητα των ατόμων και τις φασματικές γραμμές του υδρογόνου.

Τα Αξιώματα του Bohr

Ο Bohr διατύπωσε τρία θεμελιώδη αξιώματα:

1ο Αξίωμα (Στάσιμες καταστάσεις):

Τα ηλεκτρόνια μπορούν να κινούνται μόνο σε συγκεκριμένες επιτρεπόμενες τροχιές (στάσιμες καταστάσεις) χωρίς να εκπέμπουν ακτινοβολία, παρόλο που επιταχύνονται.

2ο Αξίωμα (Κβαντισμός στροφορμής):

Η στροφορμή του ηλεκτρονίου σε κάθε επιτρεπόμενη τροχιά είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του $\hbar = \frac{h}{2\pi}$:

$$L = m_e v r = n\hbar = n\frac{h}{2\pi}, \quad n = 1, 2, 3, ...$$

όπου $n$ ο κύριος κβαντικός αριθμός.

3ο Αξίωμα (Μεταβάσεις):

Όταν ένα ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από μια τροχιά ενέργειας $E_i$ σε τροχιά ενέργειας $E_f$, εκπέμπεται ή απορροφάται φωτόνιο με ενέργεια:

$$hf = |E_i - E_f|$$

Ακτίνες Τροχιών

Συνδυάζοντας τον κβαντισμό της στροφορμής με τη συνθήκη κυκλικής κίνησης:

$$\frac{ke^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$$

προκύπτουν οι επιτρεπόμενες ακτίνες:

$$r_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2 k m_e e^2} = n^2 \cdot a_0$$

όπου $a_0 = 0{,}529 \times 10^{-10} \text{ m} = 0{,}529 \text{ Å}$ η ακτίνα Bohr (θεμελιώδης τροχιά).

Ταχύτητες Ηλεκτρονίου

Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου στην n-οστή τροχιά:

$$v_n = \frac{2\pi k e^2}{nh} = \frac{v_1}{n}$$

όπου $v_1 = 2{,}19 \times 10^6 \text{ m/s}$ η ταχύτητα στη θεμελιώδη τροχιά.

Ενεργειακές Στάθμες

Η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου (κινητική + δυναμική) στην n-οστή τροχιά:

$$E_n = -\frac{2\pi^2 k^2 m_e e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το ηλεκτρόνιο είναι δεσμευμένο στο άτομο.

Βασικές στάθμες:

• $E_1 = -13{,}6 \text{ eV}$ (θεμελιώδης κατάσταση)
• $E_2 = -3{,}4 \text{ eV}$
• $E_3 = -1{,}51 \text{ eV}$
• $E_\infty = 0$ (ηλεκτρόνιο ελεύθερο)

Ενέργεια Ιονισμού

Η ενέργεια ιονισμού είναι η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται για να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο από τη θεμελιώδη κατάσταση στο άπειρο:

$$E_{ion} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13{,}6) = 13{,}6 \text{ eV}$$

Φασματικές Μεταβάσεις

Όταν το ηλεκτρόνιο μεταβαίνει από στάθμη $n_i$ σε $n_f$, εκπέμπεται φωτόνιο με:

$$hf = E_{n_i} - E_{n_f} = 13{,}6 \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right) \text{ eV}$$

Μήκος κύματος:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)$$

όπου $R_H = 1{,}097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.

Φασματικές Σειρές

Διέγερση και Αποδιέγερση

Διέγερση: Το ηλεκτρόνιο μεταβαίνει σε υψηλότερη στάθμη απορροφώντας ενέργεια (φωτόνιο ή σύγκρουση).

Αποδιέγερση: Το ηλεκτρόνιο επιστρέφει σε χαμηλότερη στάθμη εκπέμποντας φωτόνιο.

Η μετάβαση μπορεί να γίνει:

• Άμεσα (π.χ. $n=4 \to n=1$)
• Σε βήματα (π.χ. $n=4 \to n=2 \to n=1$)

Υδρογονοειδή Άτομα

Για άτομα με έναν ηλεκτρόνιο και ατομικό αριθμό $Z$ (He$^+$, Li$^{2+}$, κ.λπ.):

$$r_n = \frac{n^2 a_0}{Z}$$

$$E_n = -\frac{13{,}6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$$

Περιορισμοί του Μοντέλου

1. Δεν εξηγεί άτομα με πολλά ηλεκτρόνια
2. Δεν προβλέπει σωστά τις εντάσεις των γραμμών
3. Δεν εξηγεί τη λεπτή υφή του φάσματος
4. Παραβιάζει την αρχή αβεβαιότητας (γνωστή τροχιά)