Πράξεις πινάκων

Πράξεις Πινάκων

Οι βασικές πράξεις μεταξύ πινάκων περιλαμβάνουν την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό με αριθμό. Αυτές οι πράξεις αποτελούν τη βάση για πιο σύνθετες διαδικασίες στη Γραμμική Άλγεβρα.

Πρόσθεση Πινάκων

Ορισμός: Δύο πίνακες $A$ και $B$ μπορούν να προστεθούν αν και μόνο αν έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Το άθροισμά τους $C = A + B$ έχει στοιχεία:

$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

Παράδειγμα:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$

Ιδιότητες Πρόσθεσης

Για πίνακες $A, B, C$ ίδιων διαστάσεων:

1. Αντιμεταθετική: $A + B = B + A$
2. Προσεταιριστική: $(A + B) + C = A + (B + C)$
3. Ουδέτερο στοιχείο: $A + O = A$ (όπου $O$ ο μηδενικός πίνακας)
4. Αντίθετος πίνακας: $A + (-A) = O$

Αφαίρεση Πινάκων

Η αφαίρεση ορίζεται ως πρόσθεση με τον αντίθετο:

$$A - B = A + (-B)$$

όπου $-B = (-b_{ij})$.

Παράδειγμα:

$$\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Πολλαπλασιασμός με Αριθμό (Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός)

Ορισμός: Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα $A$ με έναν αριθμό (βαθμωτό) $k \in \mathbb{R}$ δίνει πίνακα $kA$ με στοιχεία:

$$(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$$

Παράδειγμα:

$$3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 12 & 15 \end{pmatrix}$$

Ιδιότητες Βαθμωτού Πολλαπλασιασμού

Για πίνακες $A, B$ και αριθμούς $k, l \in \mathbb{R}$:

1. Επιμεριστική ως προς πρόσθεση πινάκων: $k(A + B) = kA + kB$
2. Επιμεριστική ως προς πρόσθεση αριθμών: $(k + l)A = kA + lA$
3. Προσεταιριστική: $k(lA) = (kl)A$
4. Ουδέτερο στοιχείο: $1 \cdot A = A$
5. Μηδενισμός: $0 \cdot A = O$

Γραμμικός Συνδυασμός Πινάκων

Για πίνακες $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ίδιων διαστάσεων και αριθμούς $c_1, c_2, \ldots, c_n$, ο γραμμικός συνδυασμός είναι:

$$c_1 A_1 + c_2 A_2 + \cdots + c_n A_n$$

Ιδιότητες με τον Ανάστροφο

Για τις πράξεις πινάκων ισχύουν:

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = k A^T$
• $(A - B)^T = A^T - B^T$