Γραμμικά συστήματα με πίνακες

Γραμμικά Συστήματα με Πίνακες

Η θεωρία πινάκων παρέχει ισχυρά εργαλεία για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Κάθε γραμμικό σύστημα μπορεί να γραφεί σε μορφή πίνακα και να λυθεί με συστηματικές μεθόδους.

Μορφή Πίνακα Γραμμικού Συστήματος

Το γραμμικό σύστημα:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

γράφεται σε μορφή πίνακα ως:

$$Ax = b$$

όπου:

• $A = (a_{ij})$ είναι ο πίνακας συντελεστών ($m \times n$)
• $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ είναι το διάνυσμα αγνώστων ($n \times 1$)
• $b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$ είναι το διάνυσμα σταθερών όρων ($m \times 1$)

Επαυξημένος Πίνακας

Ο επαυξημένος πίνακας $[A|b]$ περιέχει τόσο τους συντελεστές όσο και τους σταθερούς όρους:

$$[A|b] = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}$$

Μέθοδος του Αντίστροφου Πίνακα

Για τετραγωνικό σύστημα ($m = n$) με $\det(A) \neq 0$:

$$Ax = b \Rightarrow x = A^{-1}b$$

Η λύση είναι μοναδική.

Κανόνας του Cramer

Για σύστημα $n$ εξισώσεων με $n$ αγνώστους και $\det(A) \neq 0$:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

όπου $A_i$ είναι ο πίνακας που προκύπτει αντικαθιστώντας την $i$-οστή στήλη του $A$ με το $b$.

Για σύστημα 2×2:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

$$x = \frac{\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}$$

Μέθοδος Απαλοιφής Gauss

Μετατροπή του επαυξημένου πίνακα σε κλιμακωτή μορφή με στοιχειώδεις γραμμοπράξεις:

1. Εναλλαγή δύο γραμμών
2. Πολλαπλασιασμός γραμμής με μη μηδενικό αριθμό
3. Πρόσθεση πολλαπλασίου μιας γραμμής σε άλλη

Κλιμακωτή μορφή:

$$\begin{pmatrix} 1 & * & * & | & * \\ 0 & 1 & * & | & * \\ 0 & 0 & 1 & | & * \end{pmatrix}$$

Θεώρημα Rouché-Capelli

Για το σύστημα $Ax = b$:

• Αδύνατο: $\text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$
• Μοναδική λύση: $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) = n$
• Άπειρες λύσεις: $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) < n$

Ομογενή Συστήματα

Το σύστημα $Ax = 0$ (με $b = 0$) λέγεται ομογενές.

• Πάντα έχει τη τετριμμένη λύση $x = 0$.
• Έχει μη τετριμμένες λύσεις αν και μόνο αν $\det(A) = 0$.
• Αν $\det(A) = 0$, υπάρχουν άπειρες λύσεις.