Ορίζουσες

Ορίζουσες

Η ορίζουσα είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί σε κάθε τετραγωνικό πίνακα και έχει σημαντικές εφαρμογές στην επίλυση γραμμικών συστημάτων, τον υπολογισμό αντίστροφου πίνακα και πολλά άλλα.

Ορίζουσα 2×2

Για πίνακα $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, η ορίζουσα είναι:

$$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

Γεωμετρική ερμηνεία: Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν οι δύο γραμμές (ή στήλες) του πίνακα ως διανύσματα.

Ορίζουσα 3×3 (Κανόνας Sarrus)

Για πίνακα $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$:

$$\det(A) = a_1 b_2 c_3 + b_1 c_2 a_3 + c_1 a_2 b_3 - c_1 b_2 a_3 - a_1 c_2 b_3 - b_1 a_2 c_3$$

Κανόνας Sarrus: Γράφουμε τις δύο πρώτες στήλες δίπλα στον πίνακα και υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων.

Ανάπτυξη κατά Laplace

Για μεγαλύτερους πίνακες, χρησιμοποιούμε την ανάπτυξη κατά γραμμή ή στήλη:

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$$

όπου $M_{ij}$ είναι η υποορίζουσα (ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει αφαιρώντας την $i$-οστή γραμμή και $j$-οστή στήλη).

Το $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ ονομάζεται αλγεβρικό συμπλήρωμα ή συμπαράγοντας.

Βασικές Ιδιότητες Οριζουσών

Ορίζουσα και Πράξεις

1. Ανάστροφος: $\det(A^T) = \det(A)$
2. Γινόμενο: $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
3. Βαθμωτός: $\det(kA) = k^n \det(A)$ για πίνακα $n \times n$
4. Αντίστροφος: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
5. Δύναμη: $\det(A^k) = (\det(A))^k$

Ιδιότητες Γραμμών/Στηλών

1. Αν μια γραμμή (ή στήλη) έχει όλα τα στοιχεία μηδέν, τότε $\det(A) = 0$.
2. Αν δύο γραμμές (ή στήλες) είναι ίσες ή ανάλογες, τότε $\det(A) = 0$.
3. Η εναλλαγή δύο γραμμών (ή στηλών) αλλάζει το πρόσημο της ορίζουσας.
4. Ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με $k$ πολλαπλασιάζει την ορίζουσα με $k$.
5. Η πρόσθεση πολλαπλασίου μιας γραμμής σε άλλη δεν αλλάζει την ορίζουσα.

Ορίζουσα Ειδικών Πινάκων

• Διαγώνιος: $\det(D) = d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_n$
• Τριγωνικός: Γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων
• Μοναδιαίος: $\det(I) = 1$

Κριτήριο Αντιστρεψιμότητας

Ένας τετραγωνικός πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν $\det(A) \neq 0$.