Πολλαπλασιασμός Πινάκων Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μία από τις σημαντικότερες πράξεις στη Γραμμική Άλγεβρα. Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό αριθμών, δεν είναι αντιμεταθετικός.
Ορισμός Πολλαπλασιασμού Ορισμός: Έστω A A A m × n m \times n m × n B B B n × p n \times p n × p C = A ⋅ B C = A \cdot B C = A ⋅ B m × p m \times p m × p
c i j = ∑ k = 1 n a i k ⋅ b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} c ij = k = 1 ∑ n a ik ⋅ b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a in b nj
Προϋπόθεση: Ο αριθμός στηλών του A A A B B B
A m × n ⋅ B n × p = C m × p A_{m \times \color{red}{n}} \cdot B_{\color{red}{n} \times p} = C_{m \times p} A m × n ⋅ B n × p = C m × p
Γεωμετρική Ερμηνεία Κάθε στοιχείο c i j c_{ij} c ij εσωτερικό γινόμενο της i i i A A A j j j B B B
Παράδειγμα Υπολογισμού ( 1 2 3 4 ) ⋅ ( 5 6 7 8 ) = ( 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ) = ( 19 22 43 50 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} ( 1 3 2 4 ) ⋅ ( 5 7 6 8 ) = ( 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ) = ( 19 43 22 50 )
Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Μη Αντιμεταθετικότητα Γενικά A B ≠ B A AB \neq BA A B = B A
Παράδειγμα:
A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 0 1 0 0 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 0 0 1 0 )
A B = ( 0 1 0 0 ) , B A = ( 0 0 0 0 ) AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A B = ( 0 0 1 0 ) , B A = ( 0 0 0 0 )
Προσεταιριστική Ιδιότητα ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) ( A B ) C = A ( B C )
Επιμεριστική Ιδιότητα A ( B + C ) = A B + A C A(B + C) = AB + AC A ( B + C ) = A B + A C
( A + B ) C = A C + B C (A + B)C = AC + BC ( A + B ) C = A C + B C
Πολλαπλασιασμός με Βαθμωτό k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB) = (kA)B = A(kB) k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B )
Μοναδιαίος Πίνακας A ⋅ I = I ⋅ A = A A \cdot I = I \cdot A = A A ⋅ I = I ⋅ A = A
Ανάστροφος Γινομένου ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T
Προσοχή: Η σειρά αντιστρέφεται!
Δυνάμεις Πίνακα Για τετραγωνικό πίνακα A A A
A 0 = I A^0 = I A 0 = I A 1 = A A^1 = A A 1 = A A 2 = A ⋅ A A^2 = A \cdot A A 2 = A ⋅ A A n = A ⋅ A ⋅ … ⋅ A ⏟ n φορ ε ˊ ς A^n = \underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{n \text{ φορές}} A n = n φορ ε ˊ ς A ⋅ A ⋅ … ⋅ A Ιδιότητες Δυνάμεων A m ⋅ A n = A m + n A^m \cdot A^n = A^{m+n} A m ⋅ A n = A m + n ( A m ) n = A m n (A^m)^n = A^{mn} ( A m ) n = A mn ( A n ) T = ( A T ) n (A^n)^T = (A^T)^n ( A n ) T = ( A T ) n Προσοχή: ( A B ) n ≠ A n B n (AB)^n \neq A^n B^n ( A B ) n = A n B n
Ειδικές Περιπτώσεις Νηλύναμοι Πίνακες Ένας πίνακας N N N νηλύναμος αν υπάρχει k ∈ N k \in \mathbb{N} k ∈ N N k = O N^k = O N k = O
Ιδημοδύναμοι Πίνακες Ένας πίνακας P P P ιδημοδύναμος αν P 2 = P P^2 = P P 2 = P
