Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα είναι θεμελιώδεις έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας με σημαντικές εφαρμογές στη Φυσική, την Μηχανική, την Πληροφορική και πολλές άλλες επιστήμες.

Ορισμοί

Ορισμός: Έστω $A$ τετραγωνικός πίνακας $n \times n$. Ένας αριθμός $\lambda \in \mathbb{C}$ λέγεται ιδιοτιμή (eigenvalue) του $A$ αν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα $v \neq 0$ τέτοιο ώστε:

$$Av = \lambda v$$

Το διάνυσμα $v$ λέγεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$.

Γεωμετρική ερμηνεία: Το ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που όταν πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα $A$, αλλάζει μόνο το μέτρο του (κατά συντελεστή $\lambda$) αλλά όχι την κατεύθυνσή του.

Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο

Η εξίσωση $Av = \lambda v$ γράφεται ισοδύναμα:

$$(A - \lambda I)v = 0$$

Για να υπάρχει μη τετριμμένη λύση ($v \neq 0$), πρέπει:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Το πολυώνυμο $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$.

Η εξίσωση $\det(A - \lambda I) = 0$ λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση.

Υπολογισμός για Πίνακα 2×2

Για $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$:

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix}$$

$$\det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = 0$$

$$\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0$$

$$\lambda^2 - \text{tr}(A) \cdot \lambda + \det(A) = 0$$

όπου $\text{tr}(A) = a + d$ είναι το ίχνος του πίνακα.

Ιδιότητες Ιδιοτιμών

Βασικές Σχέσεις

1. Άθροισμα ιδιοτιμών: $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A)$
2. Γινόμενο ιδιοτιμών: $\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots \cdot \lambda_n = \det(A)$
3. Αντιστρεψιμότητα: $A$ αντιστρέψιμος $\Leftrightarrow$ καμία ιδιοτιμή δεν είναι 0

Ιδιοτιμές Ειδικών Πινάκων

• Διαγώνιος πίνακας: Οι ιδιοτιμές είναι τα διαγώνια στοιχεία.
• Τριγωνικός πίνακας: Οι ιδιοτιμές είναι τα διαγώνια στοιχεία.
• Μοναδιαίος πίνακας: Η μόνη ιδιοτιμή είναι $\lambda = 1$.

Σχέσεις με Πράξεις

• Δύναμη: Αν $\lambda$ ιδιοτιμή του $A$, τότε $\lambda^k$ ιδιοτιμή του $A^k$.
• Αντίστροφος: Αν $\lambda \neq 0$ ιδιοτιμή του $A$, τότε $\frac{1}{\lambda}$ ιδιοτιμή του $A^{-1}$.
• Μετάθεση: $A$ και $A^T$ έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Ιδιοχώρος

Ο ιδιοχώρος $E_\lambda$ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$ είναι:

$$E_\lambda = \{v \in \mathbb{R}^n : Av = \lambda v\} = \ker(A - \lambda I)$$

Είναι ένας υπόχωρος του $\mathbb{R}^n$ που περιέχει όλα τα ιδιοδιανύσματα της $\lambda$ (και το μηδενικό διάνυσμα).

Διαγωνοποίηση

Ένας πίνακας $A$ λέγεται διαγωνοποιήσιμος αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $P$ τέτοιος ώστε:

$$P^{-1}AP = D$$

όπου $D$ είναι διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιο.

Ικανή συνθήκη: Αν ο $A$ ($n \times n$) έχει $n$ διακριτές ιδιοτιμές, τότε είναι διαγωνοποιήσιμος.