Αναλυτική Γεωμετρία

Εισαγωγή στην Αναλυτική Γεωμετρία

Η αναλυτική γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που συνδυάζει την άλγεβρα με τη γεωμετρία, επιτρέποντάς μας να μελετάμε γεωμετρικά σχήματα με τη χρήση συντεταγμένων και εξισώσεων. Θεμελιώθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Ρενέ Ντεκάρτ τον 17ο αιώνα.

Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αποτελείται από δύο κάθετους άξονες:

• Τον άξονα των τετμημένων $x'x$ (οριζόντιος)
• Τον άξονα των τεταγμένων $y'y$ (κατακόρυφος)

Το σημείο τομής τους ονομάζεται αρχή των αξόνων και συμβολίζεται με $O(0,0)$.

Κάθε σημείο $A$ του επιπέδου προσδιορίζεται μοναδικά από ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών $(x_A, y_A)$, τις συντεταγμένες του.

Απόσταση Δύο Σημείων

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ δίνεται από τον τύπο:

$$d = |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αν φανταστούμε το τρίγωνο $ABC$ όπου το $C$ έχει συντεταγμένες $(x_2, y_1)$, τότε:

• $|AC| = |x_2 - x_1|$
• $|BC| = |y_2 - y_1|$
• $|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$

Ειδικές Περιπτώσεις

Απόσταση σημείου $A(x_1, y_1)$ από την αρχή $O(0,0)$:

$$|AO| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$

Μέσο Ευθυγράμμου Τμήματος

Το μέσο $M$ του ευθυγράμμου τμήματος $AB$ με $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ έχει συντεταγμένες:

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του μέσου είναι οι μέσοι όροι των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων.

Διαίρεση Τμήματος σε Δοσμένο Λόγο

Αν το σημείο $M$ διαιρεί το τμήμα $AB$ σε λόγο $\lambda = \frac{AM}{MB}$, τότε:

$$x_M = \frac{x_1 + \lambda \cdot x_2}{1 + \lambda}$$

$$y_M = \frac{y_1 + \lambda \cdot y_2}{1 + \lambda}$$

Για $\lambda = 1$ (μέσο), παίρνουμε τον τύπο του μέσου.

Κέντρο Βάρους Τριγώνου

Το κέντρο βάρους $G$ τριγώνου με κορυφές $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ έχει συντεταγμένες:

$$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

Το κέντρο βάρους διαιρεί κάθε διάμεσο σε λόγο $2:1$ από την κορυφή.

Εμβαδόν Τριγώνου

Το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ είναι:

$$E = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$$

Εναλλακτικά, με τη χρήση ορίζουσας:

$$E = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right|$$

Συνθήκη Συγγραμμικότητας

Τρία σημεία $A$, $B$, $C$ είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν:

$$\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} = 0$$

ή ισοδύναμα, αν το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ είναι μηδέν.

Εφαρμογές

Η αναλυτική γεωμετρία χρησιμοποιείται ευρέως:

• Στη φυσική για την περιγραφή κίνησης
• Στα γραφικά υπολογιστών
• Στη χαρτογραφία και τα GPS
• Στην αρχιτεκτονική και τη μηχανική