Εξίσωση Κύκλου

Εισαγωγή στην Εξίσωση του Κύκλου

Ο κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση $\rho$ (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο $K$ (κέντρο). Στην αναλυτική γεωμετρία, ο κύκλος περιγράφεται με μια εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Κανονική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου

Αν $K(a, b)$ είναι το κέντρο και $\rho$ η ακτίνα του κύκλου, τότε η κανονική μορφή της εξίσωσής του είναι:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = \rho^2$$

Αυτή η μορφή προκύπτει απευθείας από τον ορισμό: η απόσταση κάθε σημείου $(x, y)$ του κύκλου από το κέντρο $(a, b)$ ισούται με $\rho$.

Ειδικές Περιπτώσεις

Κύκλος με κέντρο την αρχή:

$$x^2 + y^2 = \rho^2$$

Μοναδιαίος κύκλος (κέντρο στην αρχή, ακτίνα 1):

$$x^2 + y^2 = 1$$

Γενική Μορφή Εξίσωσης Κύκλου

Αναπτύσσοντας την κανονική μορφή, παίρνουμε τη γενική μορφή:

$$x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$$

Σύνδεση με την κανονική μορφή:

• Κέντρο: $K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$
• Ακτίνα: $\rho = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - \Gamma} = \frac{1}{2}\sqrt{A^2 + B^2 - 4\Gamma}$

Συνθήκη Ύπαρξης Κύκλου

Για να παριστάνει η εξίσωση κύκλο, πρέπει:

$$A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$$

• Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 0$: Σημειακός κύκλος (μόνο το κέντρο)
• Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma < 0$: Καμία λύση (φανταστικός κύκλος)

Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου

Μέθοδος 1: Από κέντρο και ακτίνα

Αν γνωρίζουμε το κέντρο $K(a, b)$ και την ακτίνα $\rho$, χρησιμοποιούμε απευθείας την κανονική μορφή.

Μέθοδος 2: Από τρία σημεία

Τρία μη συγγραμμικά σημεία ορίζουν έναν μοναδικό κύκλο. Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες τους στη γενική μορφή και λύνουμε το σύστημα.

Μέθοδος 3: Από κέντρο και σημείο επαφής

Αν γνωρίζουμε το κέντρο και ένα σημείο του κύκλου, υπολογίζουμε την ακτίνα ως την απόστασή τους.

Θέση Σημείου ως προς Κύκλο

Για σημείο $M(x_0, y_0)$ και κύκλο $C: (x-a)^2 + (y-b)^2 = \rho^2$:

Υπολογίζουμε: $\delta = (x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 - \rho^2$

• $\delta < 0$: Το $M$ είναι εσωτερικό του κύκλου
• $\delta = 0$: Το $M$ ανήκει στον κύκλο
• $\delta > 0$: Το $M$ είναι εξωτερικό του κύκλου

Θέση Ευθείας ως προς Κύκλο

Για ευθεία $\varepsilon: Ax + By + \Gamma = 0$ και κύκλο με κέντρο $K(a, b)$ και ακτίνα $\rho$:

Υπολογίζουμε την απόσταση $d$ του κέντρου από την ευθεία:

$$d = \frac{|Aa + Bb + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

• $d > \rho$: Η ευθεία δεν τέμνει τον κύκλο
• $d = \rho$: Η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο
• $d < \rho$: Η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία

Εξίσωση Εφαπτομένης

Η εφαπτομένη στο σημείο $M(x_0, y_0)$ του κύκλου $(x-a)^2 + (y-b)^2 = \rho^2$ έχει εξίσωση:

$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = \rho^2$$

Για κύκλο με κέντρο την αρχή $x^2 + y^2 = \rho^2$:

$$x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = \rho^2$$

Χορδή Κύκλου

Το μήκος της χορδής που ορίζει ευθεία σε απόσταση $d$ από το κέντρο κύκλου ακτίνας $\rho$ είναι:

$$\ell = 2\sqrt{\rho^2 - d^2}$$

Δύναμη Σημείου ως προς Κύκλο

Η δύναμη του σημείου $M(x_0, y_0)$ ως προς τον κύκλο $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$ είναι:

$$\Pi = x_0^2 + y_0^2 + Ax_0 + By_0 + \Gamma = |MK|^2 - \rho^2$$

Ριζικός Άξονας

Ο ριζικός άξονας δύο κύκλων είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν ίση δύναμη ως προς τους δύο κύκλους. Βρίσκεται αφαιρώντας τις εξισώσεις των κύκλων.