Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί

Εισαγωγή στους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς

Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί είναι συναρτήσεις που αντιστοιχίζουν σημεία του επιπέδου σε άλλα σημεία, μετακινώντας ή αλλάζοντας τη θέση γεωμετρικών σχημάτων. Είναι θεμελιώδεις στη μελέτη της συμμετρίας και βρίσκουν εφαρμογές στα γραφικά υπολογιστών, τη φυσική και την τέχνη.

Μετατόπιση (Μεταφορά)

Η μετατόπιση μετακινεί κάθε σημείο κατά το ίδιο διάνυσμα $\vec{v} = (a, b)$.

Αν $P(x, y)$ είναι το αρχικό σημείο, τότε το μετασχηματισμένο σημείο $P'(x', y')$ είναι:

$$x' = x + a$$

$$y' = y + b$$

ή σε μητρωική μορφή:

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$

Ιδιότητες Μετατόπισης

• Διατηρεί αποστάσεις (ισομετρία)
• Διατηρεί γωνίες
• Διατηρεί παραλληλία ευθειών
• Δεν έχει σταθερά σημεία (εκτός αν $\vec{v} = \vec{0}$)

Περιστροφή

Η περιστροφή στρέφει κάθε σημείο γύρω από ένα κέντρο $K$ κατά γωνία $\theta$.

Περιστροφή γύρω από την αρχή

Για περιστροφή κατά γωνία $\theta$ (θετική = αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού):

$$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$$

$$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$$

Σε μητρωική μορφή:

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Ειδικές Περιστροφές

Περιστροφή 90°:

$$x' = -y, \quad y' = x$$

Περιστροφή 180°:

$$x' = -x, \quad y' = -y$$

Περιστροφή 270°:

$$x' = y, \quad y' = -x$$

Περιστροφή γύρω από σημείο $K(a, b)$

1. Μεταφορά του $K$ στην αρχή
2. Περιστροφή γύρω από την αρχή
3. Μεταφορά πίσω

$$x' = (x-a)\cos\theta - (y-b)\sin\theta + a$$

$$y' = (x-a)\sin\theta + (y-b)\cos\theta + b$$

Ανάκλαση (Κατοπτρισμός)

Η ανάκλαση δημιουργεί το είδωλο ενός σημείου ως προς άξονα ή σημείο.

Ανάκλαση ως προς τον άξονα $x$

$$x' = x, \quad y' = -y$$

Ανάκλαση ως προς τον άξονα $y$

$$x' = -x, \quad y' = y$$

Ανάκλαση ως προς την αρχή

$$x' = -x, \quad y' = -y$$

(Ισοδύναμη με περιστροφή 180°)

Ανάκλαση ως προς την ευθεία $y = x$

$$x' = y, \quad y' = x$$

Ανάκλαση ως προς την ευθεία $y = -x$

$$x' = -y, \quad y' = -x$$

Ανάκλαση ως προς ευθεία $y = mx$

Για ευθεία που περνά από την αρχή με κλίση $m$:

$$x' = \frac{(1-m^2)x + 2my}{1+m^2}$$

$$y' = \frac{2mx - (1-m^2)y}{1+m^2}$$

Ομοιοθεσία

Η ομοιοθεσία με κέντρο $K$ και λόγο $k$ μεγαλώνει ή μικραίνει τις αποστάσεις από το $K$ κατά παράγοντα $|k|$.

Ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή

$$x' = kx, \quad y' = ky$$

Ομοιοθεσία με κέντρο $K(a, b)$

$$x' = k(x - a) + a$$

$$y' = k(y - b) + b$$

Ιδιότητες Ομοιοθεσίας

• Αν $|k| > 1$: Μεγέθυνση
• Αν $|k| < 1$: Σμίκρυνση
• Αν $k < 0$: Αντιστροφή κατεύθυνσης
• Διατηρεί γωνίες αλλά όχι αποστάσεις

Σύνθεση Μετασχηματισμών

Η διαδοχική εφαρμογή μετασχηματισμών ονομάζεται σύνθεση.

$$T_2 \circ T_1(P) = T_2(T_1(P))$$

Σημαντικές Ιδιότητες

• Η σύνθεση δύο μεταφορών είναι μεταφορά
• Η σύνθεση δύο περιστροφών (ίδιο κέντρο) είναι περιστροφή
• Η σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς παράλληλους άξονες είναι μεταφορά
• Η σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς τεμνόμενους άξονες είναι περιστροφή

Ισομετρίες

Οι μετασχηματισμοί που διατηρούν αποστάσεις ονομάζονται ισομετρίες:

• Μεταφορά
• Περιστροφή
• Ανάκλαση
• Ολίσθηση (σύνθεση ανάκλασης και μεταφοράς)

Εφαρμογές

• Γραφικά υπολογιστών: Μετακίνηση, περιστροφή, κλιμάκωση αντικειμένων
• Φυσική: Συμμετρίες σε νόμους διατήρησης
• Κρυσταλλογραφία: Μελέτη κρυσταλλικών δομών
• Τέχνη και σχέδιο: Δημιουργία μοτίβων και συμμετρικών σχεδίων