Κανόνας Πηλίκου

Εισαγωγή στον Κανόνα Πηλίκου

Όταν θέλουμε να παραγωγίσουμε το πηλίκο δύο συναρτήσεων, χρησιμοποιούμε τον κανόνα πηλίκου (quotient rule). Αυτός ο κανόνας μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την παράγωγο κλασμάτων συναρτήσεων με συστηματικό τρόπο.

Ο Κανόνας Πηλίκου

Θεώρημα: Αν οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x$ και $g(x) \neq 0$, τότε το πηλίκο $\frac{f}{g}$ είναι παραγωγίσιμο στο $x$ και ισχύει:

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Με συντομογραφία:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$

Μνημονικός Κανόνας: "Παράγωγος αριθμητή επί παρονομαστή, μείον αριθμητής επί παράγωγο παρονομαστή, όλα δια παρονομαστή στο τετράγωνο."

Εναλλακτικά: "Κάτω επί παράγωγο πάνω, μείον πάνω επί παράγωγο κάτω, δια κάτω στο τετράγωνο."

Απόδειξη του Κανόνα

Θα αποδείξουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας τον κανόνα γινομένου.

Απόδειξη:

Γράφουμε $\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$ και εφαρμόζουμε τον κανόνα γινομένου:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = (f \cdot g^{-1})' = f' \cdot g^{-1} + f \cdot (g^{-1})'$$

Υπολογίζουμε την $(g^{-1})'$ χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας:

$$(g^{-1})' = -g^{-2} \cdot g' = -\frac{g'}{g^2}$$

Άρα:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'}{g} + f \cdot \left(-\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'}{g} - \frac{f \cdot g'}{g^2}$$

Κάνουμε κοινό παρονομαστή:

$$= \frac{f' \cdot g}{g^2} - \frac{f \cdot g'}{g^2} = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$

Εναλλακτική Απόδειξη από τον Ορισμό

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{h \cdot g(x+h) \cdot g(x)}$$

Προσθέτουμε και αφαιρούμε $f(x) \cdot g(x)$ στον αριθμητή:

$$= \lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h) - f(x)] \cdot g(x) - f(x) \cdot [g(x+h) - g(x)]}{h \cdot g(x+h) \cdot g(x)}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x) - f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x+h) \cdot g(x)}$$

$$= \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Εναλλακτική Διατύπωση με Leibniz

Με τον συμβολισμό του Leibniz, αν $y = \frac{u}{v}$ όπου $u = u(x)$ και $v = v(x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx} \cdot v - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2}$$

Σημαντικές Παρατηρήσεις

1. Η σειρά έχει σημασία!

Στον κανόνα πηλίκου, η σειρά αφαίρεσης είναι κρίσιμη. Είναι $f' \cdot g - f \cdot g'$ και ΟΧΙ $f \cdot g' - f' \cdot g$. Λάθος στη σειρά οδηγεί σε λάθος πρόσημο!

2. Ο παρονομαστής στο τετράγωνο

Μην ξεχνάτε να υψώσετε τον παρονομαστή στο τετράγωνο.

3. Η παράγωγος του αντιστρόφου

Ειδική περίπτωση όταν $f(x) = 1$:

$$\left(\frac{1}{g}\right)' = \frac{0 \cdot g - 1 \cdot g'}{g^2} = -\frac{g'}{g^2}$$

Πότε να Χρησιμοποιείτε τον Κανόνα Πηλίκου

• Όταν έχετε κλάσμα συναρτήσεων που δεν απλοποιείται εύκολα
• Όταν ο παρονομαστής δεν είναι απλή δύναμη του $x$
• Για ρητές συναρτήσεις (πηλίκα πολυωνύμων)

Συμβουλή: Μερικές φορές είναι πιο εύκολο να γράψετε το κλάσμα ως γινόμενο με αρνητικό εκθέτη και να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα γινομένου και αλυσίδας.