Κανόνας Αλυσίδας

Εισαγωγή στον Κανόνα Αλυσίδας

Ο κανόνας αλυσίδας (chain rule) είναι ένας από τους πιο σημαντικούς και χρήσιμους κανόνες παραγώγισης. Μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την παράγωγο σύνθετων συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής $f(g(x))$.

Σύνθεση Συναρτήσεων

Πριν δούμε τον κανόνα, ας θυμηθούμε τι είναι η σύνθεση συναρτήσεων. Αν έχουμε δύο συναρτήσεις $f$ και $g$, η σύνθεσή τους $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ σημαίνει ότι:

1. Πρώτα υπολογίζουμε $g(x)$ (η "εσωτερική" συνάρτηση)
2. Μετά εφαρμόζουμε την $f$ στο αποτέλεσμα (η "εξωτερική" συνάρτηση)

Παράδειγμα: Αν $f(x) = x^2$ και $g(x) = \sin x$, τότε:

• $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$
• $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin(x^2)$

Ο Κανόνας Αλυσίδας

Θεώρημα: Αν η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x)$, τότε η σύνθεση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x$ και ισχύει:

$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Ή με άλλη διατύπωση:

$$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Μνημονικός Κανόνας: "Η παράγωγος της εξωτερικής (υπολογισμένη στην εσωτερική) επί την παράγωγο της εσωτερικής."

Διατύπωση με Leibniz

Αν θέσουμε $y = f(u)$ και $u = g(x)$, τότε $y = f(g(x))$ και:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Αυτή η διατύπωση εξηγεί γιατί ονομάζεται "κανόνας αλυσίδας": οι παράγωγοι "αλυσοδένονται" η μία μετά την άλλη.

Απόδειξη του Κανόνα

Απόδειξη:

Έστω $h(x) = f(g(x))$. Θέλουμε να υπολογίσουμε:

$$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}$$

Θέτουμε $\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)$. Καθώς η $g$ είναι συνεχής (αφού είναι παραγωγίσιμη), όταν $\Delta x \to 0$, έχουμε και $\Delta u \to 0$.

$$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta x}$$

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με $\Delta u$ (όταν $\Delta u \neq 0$):

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$

$$= f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Γενίκευση: Πολλαπλές Συνθέσεις

Ο κανόνας επεκτείνεται για περισσότερες συνθέσεις:

Για τρεις συναρτήσεις:

$$[f(g(h(x)))]' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Με Leibniz:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$

Χρήσιμες Ειδικές Περιπτώσεις

1. Δύναμη συνάρτησης:

$$[f(x)]^n \Rightarrow \left([f(x)]^n\right)' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$$

2. Εκθετική με βάση $e$:

$$e^{f(x)} \Rightarrow \left(e^{f(x)}\right)' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$$

3. Λογάριθμος σύνθετης συνάρτησης:

$$\ln(f(x)) \Rightarrow (\ln(f(x)))' = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

4. Τριγωνομετρικές:

$$\sin(f(x)) \Rightarrow (\sin(f(x)))' = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$$

$$\cos(f(x)) \Rightarrow (\cos(f(x)))' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$$

Στρατηγική Εφαρμογής

Βήμα 1: Αναγνωρίστε την "εξωτερική" και την "εσωτερική" συνάρτηση.

Βήμα 2: Παραγωγίστε την εξωτερική, κρατώντας την εσωτερική ως έχει.

Βήμα 3: Πολλαπλασιάστε με την παράγωγο της εσωτερικής.

Βήμα 4: Απλοποιήστε αν είναι δυνατό.