Εισαγωγή στους Κανόνες Παραγώγισης Ο υπολογισμός παραγώγων από τον ορισμό (με όρια) είναι χρονοβόρος και επίπονος. Ευτυχώς, υπάρχουν κανόνες που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε παραγώγους γρήγορα και αποτελεσματικά. Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε τους θεμελιώδεις κανόνες παραγώγισης.
Παράγωγος Σταθεράς Κανόνας: Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν.
Αν f ( x ) = c (σταθερ α ˊ ), τ ο ˊ τε f ′ ( x ) = 0 \text{Αν } f(x) = c \text{ (σταθερά), τότε } f'(x) = 0 Αν f ( x ) = c (σταθερ α ˊ ), τ ο ˊ τε f ′ ( x ) = 0
Απόδειξη:
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 c − c h = lim h → 0 0 = 0 f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0 f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) = h → 0 lim h c − c = h → 0 lim 0 = 0
Ερμηνεία: Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι οριζόντια ευθεία, άρα η κλίση της εφαπτομένης είναι παντού μηδέν.
Κανόνας Δύναμης Κανόνας: Για κάθε n ∈ R n \in \mathbb{R} n ∈ R
( x n ) ′ = n ⋅ x n − 1 (x^n)' = n \cdot x^{n-1} ( x n ) ′ = n ⋅ x n − 1
Ειδικές Περιπτώσεις:
( x ) ′ = 1 (x)' = 1 ( x ) ′ = 1 n = 1 n = 1 n = 1 ( x 2 ) ′ = 2 x (x^2)' = 2x ( x 2 ) ′ = 2 x ( x 3 ) ′ = 3 x 2 (x^3)' = 3x^2 ( x 3 ) ′ = 3 x 2 ( x ) ′ = ( x 1 / 2 ) ′ = 1 2 x − 1 / 2 = 1 2 x (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ( x ) ′ = ( x 1/2 ) ′ = 2 1 x − 1/2 = 2 x 1 ( 1 x ) ′ = ( x − 1 ) ′ = − x − 2 = − 1 x 2 \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} ( x 1 ) ′ = ( x − 1 ) ′ = − x − 2 = − x 2 1 Απόδειξη για n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N
f ′ ( x ) = lim h → 0 ( x + h ) n − x n h f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} f ′ ( x ) = h → 0 lim h ( x + h ) n − x n
Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του διωνύμου:
( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( n 2 ) x n − 2 h 2 + … + h n (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + h^n ( x + h ) n = x n + n x n − 1 h + ( 2 n ) x n − 2 h 2 + … + h n
Άρα:
f ′ ( x ) = lim h → 0 n x n − 1 h + ( n 2 ) x n − 2 h 2 + … h = lim h → 0 ( n x n − 1 + ( n 2 ) x n − 2 h + … ) = n x n − 1 f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots}{h} = \lim_{h \to 0} \left(nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots\right) = nx^{n-1} f ′ ( x ) = h → 0 lim h n x n − 1 h + ( 2 n ) x n − 2 h 2 + … = h → 0 lim ( n x n − 1 + ( 2 n ) x n − 2 h + … ) = n x n − 1
Πολλαπλασιασμός με Σταθερά Κανόνας: Η παράγωγος του γινομένου σταθεράς επί συνάρτηση ισούται με τη σταθερά επί την παράγωγο της συνάρτησης.
( c ⋅ f ( x ) ) ′ = c ⋅ f ′ ( x ) (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x) ( c ⋅ f ( x ) ) ′ = c ⋅ f ′ ( x )
Απόδειξη:
( c ⋅ f ( x ) ) ′ = lim h → 0 c ⋅ f ( x + h ) − c ⋅ f ( x ) h = c ⋅ lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = c ⋅ f ′ ( x ) (c \cdot f(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{c \cdot f(x+h) - c \cdot f(x)}{h} = c \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c \cdot f'(x) ( c ⋅ f ( x ) ) ′ = h → 0 lim h c ⋅ f ( x + h ) − c ⋅ f ( x ) = c ⋅ h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x ) = c ⋅ f ′ ( x )
Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας: Η παράγωγος αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων.
( f ( x ) + g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) ( f ( x ) + g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
Απόδειξη:
( f + g ) ′ ( x ) = lim h → 0 [ f ( x + h ) + g ( x + h ) ] − [ f ( x ) + g ( x ) ] h (f + g)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} ( f + g ) ′ ( x ) = h → 0 lim h [ f ( x + h ) + g ( x + h )] − [ f ( x ) + g ( x )]
= lim h → 0 [ f ( x + h ) − f ( x ) h + g ( x + h ) − g ( x ) h ] = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) = \lim_{h \to 0} \left[\frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right] = f'(x) + g'(x) = h → 0 lim [ h f ( x + h ) − f ( x ) + h g ( x + h ) − g ( x ) ] = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
Κανόνας Διαφοράς Κανόνας: Η παράγωγος διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων.
( f ( x ) − g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) ( f ( x ) − g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x )
Η απόδειξη είναι ανάλογη με τον κανόνα αθροίσματος.
Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Ακολουθεί ένας πίνακας με τις παραγώγους των πιο συνηθισμένων συναρτήσεων:
Γενίκευση για Πολλαπλά Αθροίσματα Ο κανόνας αθροίσματος γενικεύεται για οποιοδήποτε πεπερασμένο άθροισμα:
( f 1 + f 2 + … + f n ) ′ = f 1 ′ + f 2 ′ + … + f n ′ (f_1 + f_2 + \ldots + f_n)' = f_1' + f_2' + \ldots + f_n' ( f 1 + f 2 + … + f n ) ′ = f 1 ′ + f 2 ′ + … + f n ′
Αυτό μας επιτρέπει να παραγωγίζουμε πολυώνυμα όρο προς όρο.
