Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος

Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος

Το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι το σημείο που το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. Οι συντεταγμένες του μέσου υπολογίζονται ως ο μέσος όρος των συντεταγμένων των άκρων.

Τύπος Μέσου

Έστω ευθύγραμμο τμήμα $AB$ με άκρα $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$.

Το μέσο $M$ του $AB$ έχει συντεταγμένες:

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

Απόδειξη

Το μέσο $M(x_M, y_M)$ ικανοποιεί:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$$

Άρα:

$$(x_M - x_1, y_M - y_1) = (x_2 - x_M, y_2 - y_M)$$

Από την ισότητα:

• $x_M - x_1 = x_2 - x_M \Rightarrow 2x_M = x_1 + x_2 \Rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
• $y_M - y_1 = y_2 - y_M \Rightarrow 2y_M = y_1 + y_2 \Rightarrow y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Σημείο που Διαιρεί Τμήμα σε Λόγο

Έστω σημείο $P$ που διαιρεί εσωτερικά το τμήμα $AB$ σε λόγο $\lambda = \frac{AP}{PB}$, δηλαδή $\overrightarrow{AP} = \lambda \cdot \overrightarrow{PB}$.

Οι συντεταγμένες του $P$ είναι:

$$P = \left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \right)$$

Ειδική περίπτωση: Για $\lambda = 1$ (μέσο), παίρνουμε τον τύπο του μέσου.

Κέντρο Βάρους Τριγώνου

Το κέντρο βάρους (ή βαρύκεντρο) $G$ τριγώνου με κορυφές $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ έχει συντεταγμένες:

$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

Ιδιότητα: Το κέντρο βάρους διαιρεί κάθε διάμεσο σε λόγο $2:1$ από την κορυφή.

Εφαρμογές

• Εύρεση κέντρου ευθύγραμμου τμήματος
• Υπολογισμός κέντρου βάρους
• Διαίρεση τμήματος σε δοσμένο λόγο
• Κατασκευή διαμέσων τριγώνου