Τριγωνομετρικά Όρια

Προχωρημένο

Εισαγωγή στα Τριγωνομετρικά Όρια

Τα τριγωνομετρικά όρια είναι θεμελιώδη στον απειροστικό λογισμό και απαραίτητα για τον υπολογισμό παραγώγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το πιο σημαντικό όριο είναι αυτό του $\frac{\sin x}{x}$ καθώς $x \to 0$ .

Το Θεμελιώδες Τριγωνομετρικό Όριο

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

όπου το $x$ μετριέται σε ακτίνια (rad).

Γεωμετρική Απόδειξη

Θεωρούμε μοναδιαίο κύκλο (ακτίνα $r = 1$ ) και γωνία $x$ με $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

Συγκρίνουμε τα εμβαδά:

Τρίγωνο $OAB$ : $E_1 = \frac{1}{2}\sin x$
Κυκλικός τομέας: $E_2 = \frac{x}{2}$
Τρίγωνο $OAC$ : $E_3 = \frac{1}{2}\tan x$

Επειδή $E_1 < E_2 < E_3$ :

$\frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x$

Διαιρώντας με $\frac{1}{2}\sin x > 0$ :

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

Αντιστρέφοντας:

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Καθώς $x \to 0^+$ , έχουμε $\cos x \to 1$ , οπότε από το θεώρημα παρεμβολής:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

Επειδή η $\frac{\sin x}{x}$ είναι άρτια συνάρτηση, ισχύει και για $x \to 0^-$ .

Σημαντικά Συναφή Όρια

Όριο του $\frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

Απόδειξη:

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot 1 = 1$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Απόδειξη:

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \to \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

Όριο του $\frac{\arcsin x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

Όριο του $\frac{\arctan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

Γενικευμένη Μορφή

Για οποιαδήποτε συνάρτηση $f(x)$ με $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ :

$\lim_{x \to a} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$

υπό την προϋπόθεση ότι $f(x) \neq 0$ κοντά στο $a$ .

Εκθετικά-Τριγωνομετρικά Όρια

Σε συνδυασμό με το όριο $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x} = 1$

Όρια στο Άπειρο

$\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} x\left(1 - \cos\frac{1}{x}\right) = 0$

$\lim_{x \to \infty} x^2\left(1 - \cos\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}$

Εφαρμογή: Παράγωγος του Ημιτόνου

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου:

$(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

$= \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

$= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

Άρα $(\sin x)' = \cos x$ .

Βασικοί Τύποι

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1

\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{1}{x} = 1

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Βασικό τριγωνομετρικό όριο με πολλαπλάσια

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ .

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με 3:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{3}{3}$

$= 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}$

Θέτουμε $u = 3x$ . Καθώς $x \to 0$ , έχουμε $u \to 0$ :

$= 3 \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3$

Παράδειγμα 2

Λόγος ημιτόνων

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ .

Γράφουμε το κλάσμα ως γινόμενο:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{5x}{2x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{5}{2}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Παράδειγμα 3

Όριο με συνημίτονο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ .

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$

$= 2 \cdot 1^2 = 2$

Εναλλακτικά: Χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο $\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$ με $u = 2x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Παράδειγμα 4

Σύνθετο τριγωνομετρικό όριο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .

Γράφουμε $\tan x - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$

$= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Παράδειγμα 5

Όριο με αντίστροφη τριγωνομετρική

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\tan 3x}$ .

Γράφουμε:

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2}{3}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Παράδειγμα 6

Τριγωνομετρικό όριο στο άπειρο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{3}{x}$ .

Θέτουμε $t = \frac{1}{x}$ . Καθώς $x \to \infty$ , έχουμε $t \to 0^+$ :

$\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{3}{x} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin 3t}{t}$

$= \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin 3t}{3t} \cdot 3$

$= 1 \cdot 3 = 3$

Σχετικά Θέματα

definition lhopital trigonometric-identities basic-trigonometric-functions

Τριγωνομετρικά Όρια

Προχωρημένο

Εισαγωγή στα Τριγωνομετρικά Όρια

Το Θεμελιώδες Τριγωνομετρικό Όριο

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

όπου το $x$ μετριέται σε ακτίνια (rad).

Γεωμετρική Απόδειξη

Θεωρούμε μοναδιαίο κύκλο (ακτίνα $r = 1$ ) και γωνία $x$ με $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

Συγκρίνουμε τα εμβαδά:

Τρίγωνο $OAB$ : $E_1 = \frac{1}{2}\sin x$
Κυκλικός τομέας: $E_2 = \frac{x}{2}$
Τρίγωνο $OAC$ : $E_3 = \frac{1}{2}\tan x$

Επειδή $E_1 < E_2 < E_3$ :

$\frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2}\tan x$

Διαιρώντας με $\frac{1}{2}\sin x > 0$ :

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

Αντιστρέφοντας:

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Καθώς $x \to 0^+$ , έχουμε $\cos x \to 1$ , οπότε από το θεώρημα παρεμβολής:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

Επειδή η $\frac{\sin x}{x}$ είναι άρτια συνάρτηση, ισχύει και για $x \to 0^-$ .

Σημαντικά Συναφή Όρια

Όριο του $\frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

Απόδειξη:

$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot 1 = 1$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Απόδειξη:

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ :

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \to \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

Όριο του $\frac{\arcsin x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$

Όριο του $\frac{\arctan x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$

Γενικευμένη Μορφή

Για οποιαδήποτε συνάρτηση $f(x)$ με $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ :

$\lim_{x \to a} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$

υπό την προϋπόθεση ότι $f(x) \neq 0$ κοντά στο $a$ .

Εκθετικά-Τριγωνομετρικά Όρια

Σε συνδυασμό με το όριο $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x} = 1$

Όρια στο Άπειρο

$\lim_{x \to \infty} x\sin\frac{1}{x} = 1$

$\lim_{x \to \infty} x\left(1 - \cos\frac{1}{x}\right) = 0$

$\lim_{x \to \infty} x^2\left(1 - \cos\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}$

Εφαρμογή: Παράγωγος του Ημιτόνου

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου:

$(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

$= \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

$= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

Άρα $(\sin x)' = \cos x$ .

Βασικοί Τύποι

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1

\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{1}{x} = 1

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Βασικό τριγωνομετρικό όριο με πολλαπλάσια

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ .

Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με 3:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{3}{3}$

$= 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}$

Θέτουμε $u = 3x$ . Καθώς $x \to 0$ , έχουμε $u \to 0$ :

$= 3 \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3$

Παράδειγμα 2

Λόγος ημιτόνων

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ .

Γράφουμε το κλάσμα ως γινόμενο:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{5x}{2x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{5}{2}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

Παράδειγμα 3

Όριο με συνημίτονο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ .

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2$

$= 2 \cdot 1^2 = 2$

Εναλλακτικά: Χρησιμοποιώντας το γνωστό όριο $\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$ με $u = 2x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{(2x)^2} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Παράδειγμα 4

Σύνθετο τριγωνομετρικό όριο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ .

Γράφουμε $\tan x - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$

$= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Παράδειγμα 5

Όριο με αντίστροφη τριγωνομετρική

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\tan 3x}$ .

Γράφουμε:

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2}{3}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Παράδειγμα 6

Τριγωνομετρικό όριο στο άπειρο

Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{3}{x}$ .

Θέτουμε $t = \frac{1}{x}$ . Καθώς $x \to \infty$ , έχουμε $t \to 0^+$ :

$\lim_{x \to \infty} x \sin\frac{3}{x} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin 3t}{t}$

$= \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin 3t}{3t} \cdot 3$

$= 1 \cdot 3 = 3$

Σχετικά Θέματα

definition lhopital trigonometric-identities basic-trigonometric-functions

Εισαγωγή στα Τριγωνομετρικά Όρια

Το Θεμελιώδες Τριγωνομετρικό Όριο

Γεωμετρική Απόδειξη

Σημαντικά Συναφή Όρια

Όριο του tan⁡xx\frac{\tan x}{x}xtanx​

Όριο του 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2}x21−cosx​

Όριο του 1−cos⁡xx\frac{1 - \cos x}{x}x1−cosx​

Όριο του arcsin⁡xx\frac{\arcsin x}{x}xarcsinx​

Όριο του arctan⁡xx\frac{\arctan x}{x}xarctanx​

Γενικευμένη Μορφή

Εκθετικά-Τριγωνομετρικά Όρια

Όρια στο Άπειρο

Εφαρμογή: Παράγωγος του Ημιτόνου

Βασικοί Τύποι

Παραδείγματα

Βασικό τριγωνομετρικό όριο με πολλαπλάσια

Λόγος ημιτόνων

Όριο με συνημίτονο

Σύνθετο τριγωνομετρικό όριο

Όριο με αντίστροφη τριγωνομετρική

Τριγωνομετρικό όριο στο άπειρο

Σχετικά Θέματα

Εισαγωγή στα Τριγωνομετρικά Όρια

Το Θεμελιώδες Τριγωνομετρικό Όριο

Γεωμετρική Απόδειξη

Σημαντικά Συναφή Όρια

Όριο του tan⁡xx\frac{\tan x}{x}xtanx​

Όριο του 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2}x21−cosx​

Όριο του 1−cos⁡xx\frac{1 - \cos x}{x}x1−cosx​

Όριο του arcsin⁡xx\frac{\arcsin x}{x}xarcsinx​

Όριο του arctan⁡xx\frac{\arctan x}{x}xarctanx​

Γενικευμένη Μορφή

Εκθετικά-Τριγωνομετρικά Όρια

Όρια στο Άπειρο

Εφαρμογή: Παράγωγος του Ημιτόνου

Βασικοί Τύποι

Παραδείγματα

Βασικό τριγωνομετρικό όριο με πολλαπλάσια

Λόγος ημιτόνων

Όριο με συνημίτονο

Σύνθετο τριγωνομετρικό όριο

Όριο με αντίστροφη τριγωνομετρική

Τριγωνομετρικό όριο στο άπειρο

Σχετικά Θέματα

Όριο του $\frac{\tan x}{x}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x^2}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x}$

Όριο του $\frac{\arcsin x}{x}$

Όριο του $\frac{\arctan x}{x}$

Όριο του $\frac{\tan x}{x}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x^2}$

Όριο του $\frac{1 - \cos x}{x}$

Όριο του $\frac{\arcsin x}{x}$

Όριο του $\frac{\arctan x}{x}$