Δεύτερης Τάξης Εξισώσεις

Εισαγωγή στις Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης

Οι διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης περιέχουν τη δεύτερη παράγωγο της άγνωστης συνάρτησης. Εμφανίζονται σε πολλά φυσικά φαινόμενα, όπως η ταλάντωση, η κίνηση υπό την επίδραση δυνάμεων, και τα ηλεκτρικά κυκλώματα.

Γραμμικές Ομογενείς με Σταθερούς Συντελεστές

Η γενική μορφή είναι:

$$ay'' + by' + cy = 0$$

όπου $a$, $b$, $c$ είναι σταθερές με $a \neq 0$.

Χαρακτηριστική Εξίσωση

Αναζητούμε λύσεις της μορφής $y = e^{rx}$. Αντικαθιστώντας:

$$ar^2 e^{rx} + br e^{rx} + ce^{rx} = 0$$

$$e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$$

Επειδή $e^{rx} \neq 0$, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι:

$$ar^2 + br + c = 0$$

Τρεις Περιπτώσεις ανάλογα με τη Διακρίνουσα

Περίπτωση 1: $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ (Δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες)

Αν $r_1 \neq r_2$, η γενική λύση είναι:

$$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$

Περίπτωση 2: $\Delta = 0$ (Μία διπλή πραγματική ρίζα)

Αν $r_1 = r_2 = r = -\frac{b}{2a}$, η γενική λύση είναι:

$$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$$

Περίπτωση 3: $\Delta < 0$ (Δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες)

Αν $r = \alpha \pm \beta i$, η γενική λύση είναι:

$$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$$

Μη Ομογενείς Εξισώσεις

Η γενική μορφή είναι:

$$ay'' + by' + cy = f(x)$$

Η γενική λύση είναι:

$$y = y_h + y_p$$

όπου:

• $y_h$ = γενική λύση της ομογενούς
• $y_p$ = μία μερική λύση της μη ομογενούς

Μέθοδος Προσδιορισμού Συντελεστών

Μαντεύουμε τη μορφή της $y_p$ με βάση τη μορφή της $f(x)$:

Προσοχή: Αν η μαντεμένη μορφή είναι λύση της ομογενούς, πολλαπλασιάζουμε με $x$ (ή $x^2$ αν διπλή ρίζα).

Μέθοδος Μεταβολής Παραμέτρων

Για $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$, αν $y_1$ και $y_2$ είναι ανεξάρτητες λύσεις της ομογενούς:

$$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 f(x)}{W} dx + y_2 \int \frac{y_1 f(x)}{W} dx$$

όπου $W = y_1 y_2' - y_1' y_2$ είναι η Βρονσκιανή.

Εφαρμογές

Απλή Αρμονική Ταλάντωση

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$

Λύση: $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$, με $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Αποσβεσμένη Ταλάντωση

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

• Υποαπόσβεση: ταλάντωση με φθίνον πλάτος
• Κρίσιμη απόσβεση: επιστροφή στη θέση ισορροπίας χωρίς ταλάντωση
• Υπεραπόσβεση: αργή επιστροφή χωρίς ταλάντωση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos(\omega_f t)$$

Συντονισμός όταν $\omega_f \approx \omega$.