Διαφορικές Εξισώσεις

Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις

Οι διαφορικές εξισώσεις είναι εξισώσεις που περιέχουν μια άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της. Αποτελούν θεμελιώδες εργαλείο για τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων, από την κίνηση σωμάτων μέχρι τη διάδοση θερμότητας.

Βασικές Έννοιες

Τάξη Διαφορικής Εξίσωσης

Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που εμφανίζεται σε αυτήν.

• $y' = 2x$ είναι πρώτης τάξης
• $y'' + 3y' + 2y = 0$ είναι δεύτερης τάξης
• $y''' - y = \sin x$ είναι τρίτης τάξης

Βαθμός Διαφορικής Εξίσωσης

Ο βαθμός είναι η δύναμη της υψηλότερης παραγώγου (όταν η εξίσωση είναι πολυωνυμική ως προς τις παραγώγους).

Γραμμικές vs Μη Γραμμικές

Μια διαφορική εξίσωση είναι γραμμική αν έχει τη μορφή:

$$a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$$

όπου οι συντελεστές $a_i(x)$ εξαρτώνται μόνο από το $x$.

Παραδείγματα:

• $y' + 2y = e^x$ (γραμμική)
• $y' = y^2$ (μη γραμμική - η $y$ είναι στο τετράγωνο)

Ομογενείς vs Μη Ομογενείς

Μια γραμμική εξίσωση είναι ομογενής αν $f(x) = 0$.

$$y'' + 3y' + 2y = 0 \quad \text{(ομογενής)}$$

$$y'' + 3y' + 2y = \sin x \quad \text{(μη ομογενής)}$$

Λύση Διαφορικής Εξίσωσης

Γενική Λύση

Η γενική λύση περιέχει αυθαίρετες σταθερές και περιγράφει όλες τις πιθανές λύσεις.

Για εξίσωση $n$-οστής τάξης, η γενική λύση περιέχει $n$ αυθαίρετες σταθερές.

Μερική (Ειδική) Λύση

Η μερική λύση προκύπτει όταν δοθούν αρχικές ή συνοριακές συνθήκες που καθορίζουν τις σταθερές.

Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (ΠΑΤ)

Διαφορική εξίσωση μαζί με αρχικές συνθήκες:

$$y' = f(x,y), \quad y(x_0) = y_0$$

Για δεύτερης τάξης:

$$y'' = f(x,y,y'), \quad y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1$$

Βασικές Μέθοδοι Επίλυσης

1. Χωριζόμενων Μεταβλητών

Για εξισώσεις της μορφής $\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$

2. Γραμμικές Πρώτης Τάξης

Για εξισώσεις της μορφής $y' + P(x)y = Q(x)$

3. Ομογενείς Δεύτερης Τάξης

Για εξισώσεις $ay'' + by' + cy = 0$ με χαρακτηριστική εξίσωση.

Εφαρμογές

Φυσική:

• Νόμος του Newton: $ma = F \Rightarrow m\frac{d^2x}{dt^2} = F$
• Απλή αρμονική ταλάντωση: $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$

Πληθυσμιακά μοντέλα:

• Εκθετική αύξηση: $\frac{dP}{dt} = kP$
• Λογιστικό μοντέλο: $\frac{dP}{dt} = kP(1 - \frac{P}{M})$

Ηλεκτρικά κυκλώματα:

• Κύκλωμα RC: $R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V(t)$
• Κύκλωμα RLC: $L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V(t)$