Γραμμικές Πρώτης Τάξης

Εισαγωγή στις Γραμμικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης είναι μία από τις πιο σημαντικές κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων. Έχουν τυποποιημένη μέθοδο επίλυσης και εμφανίζονται σε πολλές εφαρμογές.

Τυπική Μορφή

Μια γραμμική ΔΕ πρώτης τάξης έχει τη μορφή:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

όπου $P(x)$ και $Q(x)$ είναι συνεχείς συναρτήσεις του $x$.

Σημαντικό: Ο συντελεστής του $y'$ πρέπει να είναι $1$. Αν δεν είναι, διαιρούμε όλη την εξίσωση.

Μέθοδος του Ολοκληρωτικού Παράγοντα

Βήμα 1: Τυπική Μορφή

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή $y' + P(x)y = Q(x)$

Βήμα 2: Ολοκληρωτικός Παράγοντας

Υπολογίζουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα:

$$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$$

Βήμα 3: Πολλαπλασιασμός

Πολλαπλασιάζουμε όλη την εξίσωση με $\mu(x)$:

$$\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$$

Το αριστερό μέλος γίνεται:

$$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x)$$

Βήμα 4: Ολοκλήρωση

Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη:

$$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x) \, dx + C$$

Βήμα 5: Λύση για $y$

$$y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x) \, dx + C\right]$$

Γενική Λύση

Η γενική λύση της $y' + P(x)y = Q(x)$ είναι:

$$y = e^{-\int P(x) \, dx}\left[\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C\right]$$

Ομογενής Περίπτωση

Όταν $Q(x) = 0$, η εξίσωση $y' + P(x)y = 0$ είναι ομογενής και είναι επίσης χωριζόμενη:

$$\frac{dy}{y} = -P(x) \, dx$$

Λύση: $y = Ce^{-\int P(x) \, dx}$

Ειδικές Περιπτώσεις

Σταθερός Συντελεστής

Αν $P(x) = k$ (σταθερά):

$$y' + ky = Q(x)$$

Ολοκληρωτικός παράγοντας: $\mu(x) = e^{kx}$

Γραμμική στο $x$

Μερικές εξισώσεις είναι γραμμικές ως προς $x$ αντί για $y$:

$$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$$

Εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο με αντιστροφή ρόλων.

Θεώρημα Ύπαρξης και Μοναδικότητας

Αν οι $P(x)$ και $Q(x)$ είναι συνεχείς σε ένα διάστημα που περιέχει το $x_0$, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών:

$$y' + P(x)y = Q(x), \quad y(x_0) = y_0$$

έχει μοναδική λύση στο διάστημα αυτό.

Εφαρμογές

Ηλεκτρικά Κυκλώματα

Κύκλωμα RL: $L\frac{dI}{dt} + RI = V(t)$

Ανάμειξη Διαλυμάτων

$\frac{dS}{dt} = (\text{ρυθμός εισόδου}) - (\text{ρυθμός εξόδου})$

Οικονομία

Συνεχής ανατοκισμός με καταθέσεις: $\frac{dA}{dt} = rA + D$