Χωριζόμενες Εξισώσεις

Εισαγωγή στις Χωριζόμενες Εξισώσεις

Οι χωριζόμενες διαφορικές εξισώσεις είναι η απλούστερη κατηγορία διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Ονομάζονται έτσι γιατί μπορούμε να "χωρίσουμε" τις μεταβλητές $x$ και $y$ σε διαφορετικά μέλη της εξίσωσης.

Ορισμός

Μια διαφορική εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών αν μπορεί να γραφεί στη μορφή:

$$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$$

ή ισοδύναμα:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}$$

Μέθοδος Επίλυσης

Βήμα 1: Αναγνώριση

Επαληθεύουμε ότι η εξίσωση είναι χωριζόμενη.

Βήμα 2: Διαχωρισμός Μεταβλητών

Γράφουμε την εξίσωση ώστε όλοι οι όροι με $y$ να είναι στο ένα μέλος και όλοι οι όροι με $x$ στο άλλο:

$$\frac{1}{h(y)} \, dy = g(x) \, dx$$

Βήμα 3: Ολοκλήρωση

Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη:

$$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx$$

Βήμα 4: Επίλυση για $y$

Αν είναι δυνατόν, εκφράζουμε το $y$ ως συνάρτηση του $x$.

Βήμα 5: Εφαρμογή Αρχικών Συνθηκών

Αν δίνονται αρχικές συνθήκες, υπολογίζουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης.

Παραδείγματα Χωριζόμενων Εξισώσεων

Χωριζόμενες:

• $\frac{dy}{dx} = xy$ (γράφεται $\frac{dy}{y} = x \, dx$)
• $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}$ (γράφεται $y \, dy = x^2 \, dx$)
• $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ (γράφεται $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$)

Μη χωριζόμενες:

• $\frac{dy}{dx} = x + y$
• $\frac{dy}{dx} = xy + x$

Ειδικές Περιπτώσεις

Εκθετική Αύξηση/Μείωση

$$\frac{dy}{dx} = ky$$

Λύση: $y = Ce^{kx}$

Λογιστική Εξίσωση

$$\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{M}\right)$$

Λύση: $P = \frac{M}{1 + Ae^{-kt}}$

Απόσβεση (Νόμος Ψύξης Newton)

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{περ}})$$

Λύση: $T = T_{\text{περ}} + (T_0 - T_{\text{περ}})e^{-kt}$

Προσοχή: Ιδιόμορφες Λύσεις

Όταν χωρίζουμε μεταβλητές, διαιρούμε με $h(y)$. Αν $h(y_0) = 0$ για κάποιο $y_0$, τότε $y = y_0$ μπορεί να είναι ιδιόμορφη λύση που δεν περιλαμβάνεται στη γενική λύση.

Παράδειγμα: Στην $\frac{dy}{dx} = y^2$:

• Γενική λύση: $y = \frac{-1}{x + C}$
• Ιδιόμορφη λύση: $y = 0$

Τεχνικές Ολοκλήρωσης

Συχνά χρειαζόμαστε:

• Μερικά κλάσματα: $\int \frac{1}{y(1-y)} dy$
• Αντικατάσταση: $\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$
• Λογαριθμικά: $\int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$