Ορισμός Διανύσματος

Τι είναι το Διάνυσμα;

Το διάνυσμα είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που χαρακτηρίζεται από τρία στοιχεία: μέτρο, διεύθυνση και φορά. Σε αντίθεση με τα βαθμωτά μεγέθη (όπως η μάζα ή η θερμοκρασία), τα διανύσματα περιγράφουν μεγέθη που έχουν κατεύθυνση, όπως η ταχύτητα, η δύναμη και η μετατόπιση.

Συμβολισμός Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα συμβολίζεται με διάφορους τρόπους:

• Με βέλος πάνω από ένα γράμμα: $\vec{a}$ ή $\overrightarrow{AB}$
• Με έντονα γράμματα: $\mathbf{a}$
• Με τις συντεταγμένες του: $\vec{a} = (a_1, a_2)$ στο επίπεδο ή $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ στον χώρο

Όταν ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ έχει αρχή το σημείο $A(x_1, y_1)$ και τέλος το σημείο $B(x_2, y_2)$, τότε οι συντεταγμένες του είναι:

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$

Μέτρο Διανύσματος

Το μέτρο (ή μήκος) ενός διανύσματος $\vec{a} = (a_1, a_2)$ συμβολίζεται με $|\vec{a}|$ και υπολογίζεται από τον τύπο:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$

Για διάνυσμα στον τρισδιάστατο χώρο $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

Το μέτρο ενός διανύσματος είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός: $|\vec{a}| \ge 0$.

Μοναδιαίο Διάνυσμα

Ένα διάνυσμα με μέτρο ίσο με 1 ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα. Αν $\vec{a} \ne \vec{0}$, το μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια διεύθυνση και φορά είναι:

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Τα βασικά μοναδιαία διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα είναι:

• $\hat{i} = (1, 0)$ παράλληλο στον άξονα $x$
• $\hat{j} = (0, 1)$ παράλληλο στον άξονα $y$

Μηδενικό Διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα $\vec{0} = (0, 0)$ έχει μέτρο μηδέν και απροσδιόριστη διεύθυνση. Είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης διανυσμάτων:

$$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$

Αντίθετο Διάνυσμα

Το αντίθετο ενός διανύσματος $\vec{a} = (a_1, a_2)$ είναι το διάνυσμα $-\vec{a} = (-a_1, -a_2)$ που έχει το ίδιο μέτρο και διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά.

$$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$$

Ίσα Διανύσματα

Δύο διανύσματα $\vec{a} = (a_1, a_2)$ και $\vec{b} = (b_1, b_2)$ είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τις ίδιες συντεταγμένες:

$$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow a_1 = b_1 \text{ και } a_2 = b_2$$

Παράλληλα Διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ είναι παράλληλα ($\vec{a} \parallel \vec{b}$) αν υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda \ne 0$ τέτοιος ώστε:

$$\vec{b} = \lambda \cdot \vec{a}$$

Αν $\lambda > 0$, τα διανύσματα έχουν την ίδια φορά (ομόρροπα).

Αν $\lambda < 0$, τα διανύσματα έχουν αντίθετη φορά (αντίρροπα).

Διάνυσμα Θέσης

Το διάνυσμα θέσης ενός σημείου $P(x, y)$ είναι το διάνυσμα $\overrightarrow{OP}$ με αρχή την αρχή του συστήματος συντεταγμένων $O$ και τέλος το σημείο $P$:

$$\overrightarrow{OP} = (x, y)$$