Παραμετρικές Εξισώσεις Ευθειών

Εισαγωγή

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι ένας ισχυρός τρόπος περιγραφής γεωμετρικών σχημάτων χρησιμοποιώντας διανύσματα. Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε τη διανυσματική και παραμετρική εξίσωση ευθείας στο επίπεδο.

Διανυσματική Εξίσωση Ευθείας

Μια ευθεία στο επίπεδο μπορεί να οριστεί πλήρως αν γνωρίζουμε:

• Ένα σημείο $A$ που ανήκει στην ευθεία
• Ένα διάνυσμα $\vec{v}$ παράλληλο στην ευθεία (διάνυσμα διεύθυνσης)

Η διανυσματική εξίσωση της ευθείας είναι:

$$\vec{r} = \vec{r}_A + t\vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}$$

όπου:

• $\vec{r}$ είναι το διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου της ευθείας
• $\vec{r}_A$ είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου $A$
• $\vec{v}$ είναι το διάνυσμα διεύθυνσης
• $t$ είναι η παράμετρος (πραγματικός αριθμός)

Παραμετρικές Εξισώσεις

Αν $A(x_0, y_0)$ και $\vec{v} = (a, b)$, τότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Κάθε τιμή του $t$ δίνει ένα σημείο της ευθείας.

Εξίσωση Ευθείας από Δύο Σημεία

Αν η ευθεία διέρχεται από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$, τότε:

$$\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$

και οι παραμετρικές εξισώσεις είναι:

$$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \end{cases}$$

Σημείωση: Για $t = 0$ παίρνουμε το σημείο $A$, για $t = 1$ παίρνουμε το σημείο $B$.

Μετάβαση σε Καρτεσιανή Εξίσωση

Από τις παραμετρικές εξισώσεις μπορούμε να βρούμε την καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας.

Μέθοδος: Απαλείφουμε την παράμετρο $t$.

Από $x = x_0 + at$ παίρνουμε $t = \frac{x - x_0}{a}$ (αν $a \ne 0$)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση:

$$y = y_0 + b \cdot \frac{x - x_0}{a}$$

Άρα:

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}$$

που δίνει: $b(x - x_0) = a(y - y_0)$ ή $bx - ay + (ay_0 - bx_0) = 0$

Κάθετο Διάνυσμα Ευθείας

Αν $\vec{v} = (a, b)$ είναι το διάνυσμα διεύθυνσης, τότε το κάθετο διάνυσμα (ή κανονικό διάνυσμα) είναι:

$$\vec{n} = (-b, a) \text{ ή } \vec{n} = (b, -a)$$

Το κάθετο διάνυσμα είναι κάθετο στην ευθεία και χρησιμοποιείται στην καρτεσιανή εξίσωση $ax + by + c = 0$ όπου $\vec{n} = (a, b)$.

Γωνία Δύο Ευθειών

Η γωνία $\theta$ μεταξύ δύο ευθειών με διανύσματα διεύθυνσης $\vec{v}_1$ και $\vec{v}_2$ δίνεται από:

$$\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}$$

Χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή γιατί μας ενδιαφέρει η οξεία γωνία.

Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας

Για δύο ευθείες με διανύσματα διεύθυνσης $\vec{v}_1 = (a_1, b_1)$ και $\vec{v}_2 = (a_2, b_2)$:

Παραλληλία: $\vec{v}_1 \parallel \vec{v}_2 \Leftrightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ ή $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$

Καθετότητα: $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2 \Leftrightarrow \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$

Σημείο Τομής Δύο Ευθειών

Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών:

$$\epsilon_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\ y = y_1 + b_1 t \end{cases}$$

$$\epsilon_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2 s \\ y = y_2 + b_2 s \end{cases}$$

Λύνουμε το σύστημα:

$$\begin{cases} x_1 + a_1 t = x_2 + a_2 s \\ y_1 + b_1 t = y_2 + b_2 s \end{cases}$$

ως προς $t$ και $s$, και αντικαθιστούμε σε μία από τις εξισώσεις.

Παραμετρική Εξίσωση Τμήματος

Για να περιγράψουμε μόνο το τμήμα $AB$ (όχι ολόκληρη την ευθεία), περιορίζουμε την παράμετρο:

$$\vec{r} = \vec{r}_A + t \cdot \overrightarrow{AB}, \quad 0 \le t \le 1$$

ή ισοδύναμα:

$$\vec{r} = (1-t)\vec{r}_A + t\vec{r}_B, \quad 0 \le t \le 1$$