Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Το εσωτερικό γινόμενο (ή βαθμωτό γινόμενο) δύο διανυσμάτων $\vec{a} = (a_1, a_2)$ και $\vec{b} = (b_1, b_2)$ είναι ένας πραγματικός αριθμός που ορίζεται ως:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

Για διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ και $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Γεωμετρικός Ορισμός

Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί επίσης να οριστεί μέσω της γωνίας $\theta$ μεταξύ των διανυσμάτων:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$$

όπου $0 \le \theta \le \pi$ είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα.

Υπολογισμός Γωνίας Μεταξύ Διανυσμάτων

Από τους δύο ορισμούς προκύπτει ο τύπος για τη γωνία:

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου

Βασικές Ιδιότητες

1. Αντιμεταθετική: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Επιμεριστική: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
3. Συσχέτιση με βαθμωτό: $(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda\vec{b})$
4. Τετράγωνο μέτρου: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Ειδικές Περιπτώσεις

• Αν $\vec{a} \perp \vec{b}$ (κάθετα διανύσματα), τότε $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Αν $\vec{a} \parallel \vec{b}$ και ομόρροπα, τότε $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$
• Αν $\vec{a} \parallel \vec{b}$ και αντίρροπα, τότε $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Συνθήκη Καθετότητας

Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ είναι κάθετα αν και μόνο αν:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$$

Χρήσιμες Ταυτότητες

Ταυτότητα Πόλωσης

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\right)$$

Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι παράλληλα.

Τριγωνική Ανισότητα

$$|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$$

Προβολή Διανύσματος

Η προβολή του διανύσματος $\vec{a}$ πάνω στο διάνυσμα $\vec{b}$ είναι:

$$\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b}$$

Το μέτρο της προβολής (αλγεβρική τιμή) είναι:

$$|\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = |\vec{a}| \cdot |\cos\theta|$$

Εφαρμογή: Έργο Δύναμης

Στη φυσική, το έργο μιας σταθερής δύναμης $\vec{F}$ κατά τη μετατόπιση $\vec{d}$ είναι:

$$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}| \cdot |\vec{d}| \cdot \cos\theta$$

όπου $\theta$ είναι η γωνία μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης.